Giải bài tập Toán 9 Bài 1. Sự xác định đường tròn - Tính chất đối xứng của đường tròn

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN
§1. Sự XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
TÍNH CHẤT ĐÔÌ XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1| Trên hình 53, điểm H nằm bên ngoài đường tròn (0), điểm K nằm bên trong đường tròn (O). Hãy so sánh OKH và OHK .
Hướng dẫn
Vì điểm H nằm bên ngoài đường tròn, điểm K nằm bên trong đường tròn nên OK OHK .
?2 Cho hai điểm A và B.
Hãy vẽ đường tròn đi qua hai điểm đó;
Có bao nhiêu đường tròn như vậy? Tâm của chúng nằm trên đường nào?
a)
b) Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B. Tâm của chúng nằm trên một đường thẳng..
?3| Cho ba điểm A, B, c không thẳng nàng. Hãy vẽ đường tròn đi qua ba điểm đó.
?4 Cho đường tròn (O), A là điểm bất kì thuộc đường tròn. Vẽ A' đối xứng với A qua điểm o (h.56). Chứng minh rằng điểm A' cũng thuộc đường tròn (Q).
Hướng dẫn
Chứng minh: Vì A’ đối xứng với A qua o nên ta có OA = OA’. Chứng tỏ A’ cũng thuộc đường tròn.
I ?5 Ị Cho đường tròn (O), AB là đường kính bất kì và c là một điểm thuộc đường tròn. Vẽ C' đối xứng với c qua AB (h.57). Chứng minh rằng điểm C' cũng thuộc đường tròn (O).
Hướng dẫn
Chứng minh: Gọi I là giao điểm của AB và CC’. Vì C’ đốì xứng với c qua AB nên IC’ = IC. Do đó hai tam giác vuông IOC và IOC’ bằng nhau (c-g-c)
Suy ra oc = OC’. Chứng tỏ C’ cũng thuộc đường tròn (O).
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, c, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
'ái
Gọi o là giao điểm hai đường chéo AC, BD.
Ta có: OA = OB = oc = OD
Vậy 4 điểm A, B, c, D thuộc đường tròn (O)
Do: AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 52 = 169
=> AC = 13 (cm)
Bán kính đường tròn (O) là R = —- = 6,5 (cm).
2. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn
(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông
(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù
r
thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.
thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất.
'ải
Ta có • (1) nốì với (5)
(2) nối với (6)
(3) nối với (4)
Chứng minh các định lí sau:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
a) Cho AABC vuông tại A.
l 2 )
Suy ra I là tâm đường tròn qua A, B, c.
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp AABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
b) Cho ABAC nội tiếp đường tròn có đường
kính là BC, ta có:
OA = OB = oc (bán kính đường tròn (0))
BC AABC có AO là trung tuyến và OA = —-
Vậy AABC vuông tại A.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(-l; -1); B(-1; -2); C(V2; V2) đối với đường tròn tâm 0 bán kính 2.
* Ta có: OA2 = l2 + l2 = 2 => OA = V2 < 2 = R
Nên A nằm bên trong đường tròn (O; 2)
=> OB = Võ > 2 = R
* OB2 = l2 + 22 = 5
Nên B nằm bên ngoài đường tròn (O; 2)
* oc2 = (V2)2 + (V2)2 = 4
=> oc = 2 = R
Nên c thuộc đường tròn (O; 2).
Đố.
Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.
Gấp tấm bìa sao cho 2 phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp lần 1 là một đường kính, tiếp tục gấp như trên nếp gấp lần 2 cho ta đường kính thứ hai. Giao điểm hai nếp gấp là tâm hình tròn.
LUYẸN TẠP
Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?
Biển cấm đi ngược chiều (h.58).
Biển cấm ôtô (h.59).
^ịìiíì
Hình 58 có tâm đốì xứng và có trục đối xứng.
Hình 59 có trục đối xứng.
Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm A cố định bằng 2 cm
(4) là đường tròn tâm A bán kính
2 cm.
(2) Đường tròn tâm A bán kính
2 cm gồm tất cả những điểm
(5) có khoảng cách đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2 cm.
(3) Hình tròn tâm A bán kính
2 cm gồm tất cả những điểm
(6) có khoảng cách đến điểm A bằng 2 cm.
(7) có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2 cm.
^ZíỉZ
(1) nôi với (4)
(2) nối với (6)
(3) nối với (5).
Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, c thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và c sao cho tâm o nằm trên tia Ay.
Cách dựng:
+ Dựng trung trục d của BC.
+ d cắt Ay tại o.
+ Dựng đường tròn (O; OB).
Chứng minh:
+ Tâm o đường tròn thuộc Ay.
+ OB = oc (O thuộc trung trực BC) nên đường tròn (O; OB) qua c.
Hay B, c cùng thuộc đường tròn (O).
9. Đố.
Hình 61
a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 60 được tạo bởi các cung có tâm A, B, c, D (trong đó A, B, c, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.
b) Vẽ lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, c, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.
(ịiảì
Học sinh tự vẽ hình.