Giải bài tập Toán 9 Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

§6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIÊP TUYÊN CAT NHAU
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1| Cho hình 79 trong đó AB, AC theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B, tại c của đường tròn (O). Hãy kể tên một vài đoạn thẳng bằng nhau, một vài góc bằng nhau trong hình.
Hướng dẫn
Các đoạn thẳng bằng nhau: OB = oc, AB = AC;
Các góc bằng nhau: ÕÃB = ỐÂC ; ÕBẦ = 0CA ; ẤÕB = Ấõc ; ...
?2| Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn bằng “thước phân giác” (xem hình vẽ trong khung ở đầu §6).
Hướng dẫn
Vẽ ba đường thẳng không song song, lần lượt tiếp xúc với hình tròn, ba đường thẳng này tạo thành một tam giác;
Vẽ ba đường phân giác của tam giác vừa dựng, ba đường phân giác này đồng quy tại một điểm;
Giao điểm của ba đường phân giác chính là tâm của hình tròn.
?3| Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, AC, AB (h.80). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm I.
Hướng dẫn
Ta có: IAE = IAF; AE = AF; Ê = Fnên hai tam giác IEA và IFA bằng nhau (g-c-g). Suy ra IE = IF;
Tương tự ta cũng có: IF = ID. Vậy ba điểm D, E, F nằm trên đường tròn tâm (I).
?41 Cho tam giác ABC, K là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đến các đường thẳng BC, AC, AB (h.81). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn có tâm K.
Hướng dẫn
Chứng minh tương tự như [73].
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm).
Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BÍ) song song với AO.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
a) Chứng minh OA ± BC.
Ta có: BA = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OB = oc (bán kính đường tròn)
Suy ra OA là trung trực của BC.
Hay OA 1 BC.
b) Chứng minh BD // OA.
ABCD nội tiếp đường tròn đường kính CD.
Nên CBD = 90°
Hay: DB 1 BC
OA ± BC (chứng minh trên)
Vậy BD // OA.
Tính độ dài các cạnh AABC.
Ta có: ABO = 90° (AB là tiếp tuyến đường tròn (O)).
AABO vuông tại B:
AB2 = OA2 - OB2 = 42 - 22 = 12 => AB = 2 x/3 (cm)
Do đó: AC = AB = 2x13 (cm)
Theo câu trên AO là trung trực BC nên OA ± BC tại trung điểm H của BC.
Ta có: BH.OA = OB.BA (hệ thức lượng trong tam giác vuông) BH.4 = 2.2 43
BH = 43
Do đó: BC = 2BH = 2.43 =2 43 (cm).
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến BA và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
AB = AC
Ta có 1 MD = DB (Tính chât hai tiếp tuyến căt nhau)
ME = EC
Chu vi AADE là:
p = AD + DE + EA
= AD + DM + ME + EA
= AD + DB + EC + EA
= AB + AC = 2AB.
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Gọi o là tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ax, Ay của góc xAy, khi đó ta có xAO = yAO (tính chát hai tiếp tuyến cắt nhau).
Vậy o nằm trên đường phân giác của góc xAy.
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
^7/ỉz
Cách dựng:
Dựng Bt ± Ax tại B.
Dựng phân giác Az của xAy, Az cắt Bt tại o.
- Dựng đường tròn (O; ÓB)
Chứng minh:
Kẻ oc 1 Ạy.
Ta có: OB = oc (0 thuộc phân giác xAy)
Suy ra Ay là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB)
Ax ± OB tại B.
Nên Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB).
LUYỆN TẬP
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở c và D. Chứng minh rằng:
a) COD =90°
b) CD = AC + BD
a) Chứng minh COD = 90°.
m , OC là phân giác AOM
Ta có <	,
OD là phân giác BOM
Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOM và BOM là hai góc kề bù.
Suy ra: oc 1 OD hay COD = 90°
b) CD = AC + BD.
Ta co
ÍAC = CM
[BD = DM
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó: AC + BD = CM + DM = CD
c) Tích AC.BD không đổi.
ACOD vuông tại o có OM là đường cao (do CD X OM) Nên:	CM.MD = OM2 = R2
Suy ra: AC.BD = R2 (không đổi)
31. Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). a) Chứng minh rằng:
2AD = AB + AC - BC
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a). A
Qỉải
a) Chứng minh: 2AD = AB + AC - BC.
(AD = AF
Ta có < BD = BE
(tính chất hai
CF = CE
Hỉnh 82
tiếp tuyến cắt nhau)
=> AB + AC - BC = AD + DB + AF + FC - BE - CE
= AD + DB + AD + FC - DB - CF
= 2AD
b) Các hệ thức tương tự:
2AF = AC + AB - BC
. 2BD = BA + BC - AC
. 2BE = BC + BA - AC
2CE = CB + CA - AB
. 2CF = CA + CB - AB
32. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1 cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:
A. 6 cm2	B. 73 cm2
c. cm2	D. 3 73 .
4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Qitli
Cho AABC đều ngoại tiếp đường tròn (O).
-	_	A
AO là phân giác BAC nên AO cũng là đường cao của tam giác, do đó AO 1 BC.
Mặt khác: OH 1 BC (BC là tiếp tuyến của (0)).
Do đó: A, o, H thẳng hàng.
Và: HB = HC, HAC = 30°	H
AH = 3OH = 3.1 = 3 em
Ta có: HC = AH.tgHÃC = 3.tg30° = 3.-^= = 73 (cm) V 3
Diện tích tam giác ABC:
Sabc = I AH.BC = AH.HC = 3 73 (cm)
2
Chọn D.