Giải bài tập Toán 9 Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
Hãy xác định vị trí tương đốì của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
Chứng minh đẳng thực AE.AB = AF.AC
Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
(ịiỉlì
a) Xác định vị trí tương đối các đường tròn.
BEH = 90° nên ABEH nội tiếp đường tròn đường kính BH (tâm I).
Tương tự AHFC nội tiếp đường tròn đường kính CH tâm K.
Ta có: OI = OB - IB
=> Đường tròn (I) tiếp xúc trong với đường tròn (O).
Lại có: OK = oc - KC
Đường tròn (K) tiếp xúc trong với đường tròn (O).
KI = IH + HK
=> Đường tròn (K) và đường tròn (I) tiếp xúc ngoài, b) Tứ giác AEHF là hình gì?
Ta có: ẤẼH = 90° (HE 1 AB)
AFH = 90° (HF 1 AC)
ÉAF = 90° (A thuộc đường tròn đường kính BC)
Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
Chứng minh AE.AB = AF.AC.
AAHB vuông tại H có HE là đường cao nên: AE.AB = AH2
Tương tự trong tam giác vuông AHC:
AF.AC = AH2
Vậy: AE.AB = AF.AC
Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K).
Gọi p là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEHF, ta có: PH = PF
Xét APHK và APFK có:
PH = PF
HK = KF (bán kính đường tròn (K))
PK: cạnh chung
Nên APHK = APFK
Suy ra: PFK = PHK = 90°
Hay PF ± KF tại F
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (K). Tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Vị trí H.
Ta có: EF = AH (Tứ giác AEHF là hình chữ nhật)
AD a
Mà: AH = —— (đường kính BC vuông góc dây AD)
2
EF có giá trị lớn nhất khi AD có giá trị lớn nhất, lúc đó AD là đường kính của đường tròn (O).
Khi đó H trùng o.
Cho hai đường tròn (0) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B 6 (O), c e (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
ME.MO = MF.M0'
00' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là 00'.
^/«7
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
Ta có: MO là phân giác AMB, MO' là phân giác AMC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Mà AMB, AMC là hai góc kề bù.
Suy ra: 0M0' =90°	(1)
Mặt khác: MB = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
OB = OA (bán kính đường tròn (O))
Nê.n OM là trung trực của AB.
Do đó: MẼẦ = 90°	(2)
Chứng minh tương tự: MFA = 90° (MO' là trung trực của AC) (3)
Từ (1), (2), (3) => Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.M0'
AMAO vuông tại A (MA là tiếp tuyến đường tròn (O)):
Có AE là đường cao nên: ME.MO = MA2
Tương tự trong tam giác vuông MAO': MF.M0' = MA2
Vậy: ME.MO = MF.M0'
00' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Ta có ■
MB-MA
MC = MA
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: MA = MB = MC =
2
BC
AABC có am là trung tuyến và AM = ——
2
Nên AABC vuông tại A.
Do đó A thuộc đường tròn đường kính BC tâm M.
Mặt khác: MA ± 00' tại A.
Vậy 00' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính 00'.
Gọi K là tâm đường tròn đường kính 00'.
AOMO' vuông tại M (cmt) nên M thuộc đường tròn đường kính 00'.
_ ÍOB-LBC ' , ,	x
Do ■	(tính chât tiếp tuyến)
[O c -L BC
Suy ra: OB // O'C và OBC = 90°
Từ đó tứ giác OBCO' là hình thang vuông có KM là đường trung bình. Nên KM 1 BC tại M.
Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K đường kính 00'.
Cho hai đường tròn (0; R) và (O'; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của 00'. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O'; r) theo thứ tự tại c và D (khác A).
Chứng minh rằng AC = AD
Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.
a) Chứng minh AC = AD.
Kẻ OM 1 AC
O'N 1 AD
Suy ra OM // O'N
Tứ giác 0MN0' là hình thang có I là trung điểm của 00' và IA // OM // O'N (cùng vuông góc với CD).
Nên AM = AN
Mặt khác M, N là trung điểm AC, AD (định lý đường kính vuông góc với dây)
. A, AC AM = —
Do đó ■
2
AD
AN = ——
2
AD
2
AC
Từ đó suy ra —- =
J 2
Vậy AC = AD.
b)KB 1 AB.
Gọi H là giao điểm của 00' và AB.
Ta có: IH ± AB tại trung điểm của AB.
(tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau) Mặt khác: IH // KB (IH là đường trung bình AAKB) Vậy KB 1 AB tại B.