Giải bài tập Toán 9 Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

§5. DẤU HIỆU NHẬN BIET TIEP TUYEN
CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1 Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Hướng dẫn
Vì đường tròn (A; AH) đi qua A và bán kính AH vuông góc với BC nên BC chính là tiếp tuyến của đường tròn.
?2[ Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng.
Hướng dẫn
Rõ ràng đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C;
Trong đường tròn (M), ta có: ABO và ACO là hai tam giác vuông, mà AB ± OB; AC ± oc nên AB và AC là hai tiếp tuyến của (O).
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25
BC2 = 25
Suy ra: BA2 + AC2 = BC2 Nên AABC vuông tại A. Do đó AC ± BA tại A.
Vậy AC là tiếp tuyến đường tròn (B; BA).
Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng b. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
Cách dựng:
Dựng Ax ± d tại A.
Dựng trung trực d' của AB cắt Ax tại o.
Dựng đường tròn (O; OA).
Chứng minh:
- Do OB = OA (O thuộc trung trực của AB) nên đường tròn (O; OA) qua B.
- d ± OA tại A nên d tiếp xúc đường tròn (O; OA) tại A.
23. Đố.
Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, c. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm c (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
^iải
• Do chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay kim đồng hồ, nên chiều quay đường tròn tâm A thuận chiều quay kim đồng hồ và chiều quay đường tròn tâm c thuận chiều quay kim đồng hồ.
LUYỆN TẬP
Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua o kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm c.
Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB = 24 cm. Tính độ dài oc.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến đường tròn (O).
Ta có: CAO = 90° (AC là tiếp tuyến đường tròn (O))
AOAB cân tại o (OA = OB) có OH là đường cao nên OH cũng là phân giác AOB nên ẤÕC = B0C.
AOAC và AOBC có Ấõc = BOC .
oc là cạnh chung OA = OB
Suy ra: AOAC = AOBC (c.g.c)
Do đó: CBO = CÁÕ = 90°
Hay CB ± OB tại B.
Vậy CB là tiếp tuyến đường tròn (O).
Tính oc.
AR
Do AH = HB = nên AH = 12 cm.
2
ADAH vuông tại H có: OH2 = OA2 - AH2 = 152 - 122 = 81
=> OH = 9 cm
AOAC vuông tại A có AH là đường cao:
OA2 = OH.OC
Q	™ _ 0A2 _ 152 _ or _
Suy ra: oc = - ~ = -77- = 25 cm.
J	OH 9
Cho đường tròn tâm o có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
^/«7
Tứ giác OCAB là hình gì?
Ta có: M là trung điểm OA (gt)
OA 1 BC tại M nên M là trung điểm BC. Do đó tứ giác OCAB là hình bình hành.
Mà OB = oc = R
Vậy tứ giác OCAB là hình thoi.
Tính BE.
Ta có: EBO = 90° (BE là tiếp tuyến đường tròn (0))
Do: AOBA đều (AB = OB = OA)
Nên BOE = 60°
AEBO vuông tại B, BE = BO.tg60° = R \l~3 .