Giải bài tập Toán 9 Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐEN dây
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1| Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
Nếu AB = CD thì OH = OK.
Nếu OH = OK thì AB = CD.
Hướng dẫn
Theo bài toán 1, ta có: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (1).
Nếu AB = CD thì HB = KD => HB2 = KD2 (vì H là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD).
Từ (1) suy ra: OH2 = OK2. Do đó: OH = OK (đpcm);
Chứng minh tương tự như câu a).
?2| Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD;
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
Hướng dẫn
Theo bài toán 1, ta có: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (1).
Nếu AB > CD thì HB > KD => HB2 > KD2 (vì H là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD).
Từ (1) suy ra: OH2 < OK2. Do đó: OH < OK (đpcm);
Chứng minh tương tự như câu a).
?3 Cho tam giác ABC, o là giao điểm của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69).
Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC;	b) AB và AC.
Hướng dẫn
Ta có o là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra:
BC = AC (vì chúng cách đều tâm O);
AB < AC (vì AB cách xa tâm hơn so với AC).
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn tâm o bán kính 5 cm, dây AB bằng 8 cm.
Tính khoảng cách từ tâm o đến dây AB.
Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1 cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
a) Tính khoảng cách OH.
Kẻ OH 1 AB.
Ta có: H là trung điểm AB (đường kính vuông góc với dây cung)
Nên: HA = HB=4? = Í= 4 (cm)
2	2
AOHA vuông tại H:
OH2 = OA2 - AH2 = 52 - 42 = 9
OH = 3 cm.
b) Chứng minh CD = AB.
Ke OK ± CD, tứ giác OHIK có:
ÓHI = HĨk = ốkl = 90°
Nên tứ giác OHIK là hình chữ nhật.
Suy ra: OK = IH
Mà:	IH = AH - AI = 4 - 1 = 3 (cm)
Do đó: OK = 3 cm = OH
Vậy: AB = CD (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây).
Cho đường tròn (0) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
EH = EK.
EA = EC.
a) Chứng minh EH = EK.
Ta có: H, K là trung điểm AB, CD nên:
OH 1 AB, OK 1 CD (đường kính qua trung điểm một dây).
Mà: AB = CD (gt)
Nên: OH = OK (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây).
OE chung
OH = OK
E
Xét hai tam giác vuông AEHO và AEKO có:
Suy ra: AEHO = AEKO
Vậy: EH = EK.
b) Chứng minh EA = EC.
Do AB = CD, suy ra HA = KC và EH = EK (cmt)
Nên: HA + EH = KC + EK
Vậy: EA = EC.
LUYẸN TẶP
14. Cho đường tròn tâm o bán kính 25 cm, dây AB bằng 40 cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22 cm. Tính độ dài dây CD.
Kẻ OH ± AB, do AB // CD nên OH vuông góc với CD tại K.
Ta có: HK - 22 cm (HK là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AB, CD).
Ta có: H, K là trung điểm AB, CD (đường kính vuông góc với một dây).
2	2
AOHA vuông tại H, OH2 = OA2
OH = 15 (cm)
Suy ra: OK = HK - OH = 22 -
AOCK vuông tại K:
CK2 = oc2 - OK2 = 252 -
CK = 24 (cm)
Vậy: CD = 2CK = 2.24 = 48 (cm).
15. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là 0. Cho AB > CD. Hây so sánh các độ dài:
a) OH và OK b) ME và MF
- AH2 = 252 - 202 = 225
15 = 7 (cm)
72 = 576
biết
c) MH và MK.
a) So sánh OH và OK.
Ta có: AB > CD
Nên: OH < OK (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây).
b) So sánh ME và MF.
Ta có: OH < OK
Nên: ME > MF (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây).
So sánh MH và MK.
Các AOHM và AOKM vuông.
Ta có: OM2 = OH2 + HM2 => HM2 = OM2 - OH2
OM2 = OK2 + KM2 => KM2 = OM2 - OK2
Do OH OH2 < OK2
=> -OH2 > -OK2
=> OM2 - OH2 > OM2 - OK2
=> HM2 > KM2
=> HM > KM.