Giải Toán 9: Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

PHẦN HÌNH HỌC
Chương I. HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC Cơ BÀN
Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
A
b2 - ab’, c2 = ac’
Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng'tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Một sô' hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2: Trong'một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
h2 = b’c’
Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng. h.a = b.c
Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
J_ _ _Ị_	1
h2 - b2 + c2
B. HƯỚNG DẦN GIAI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC, vuông góc tại đỉnh A. Biết BC = 25cm, AB = 20cm. Tính cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH, HC.
Giải
Ta có AC	(Hình 2)
 = BC2 - AB2 = 252 - 202 = 225 Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có: AH.BC = AB.AC (Định lí 3)
AC = 15 (cm) A
C?H or	?
4	25cm —
Suy ra: AH = -
BC
25
= 12 (cm)
AB.AC 20.15
CH =
AC2 = CH - BC (Định lí 1)
BH = BC - CH = 25 - 9 = 16 (cm)
2. Bài tập cơ bản
Hãy tính X và y trong mỗi hình sau:
1. (Hình la, b
AC2
BC
152
25
9(cm)
6/
\s
/ x
i
y
a)
b)
Hình 1
(Hình 3)
(Hình 7)
Giải
Hình a. Theo định lí Pitago và định lí 1 ta có:
r*2
X + y = Vô	Cho tam giác ABC vuông ở A, đườrig cao AH - 24cm. Biêt AB : AC = 3:4. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
 + 82 = 10; 62 = X. 10 => x = —— = 3,6;
10
q2
82 = y.10 => y = -7- = 6,4 10
Hình b
1 22
122 = x.20 => X =---C-= 7,2 20
y = 20 - 7,2 = 12,8
Theo định lí 1 ta có:
X2 = 1(1 + 4) = 5 => X = Võ
y2 = 4(1 + 4) = 20 y - V20 = 2 Võ
Theo định lí Pitago ta có: y = V52 + 72 = V25 + 49 = V74
r n	35	35V74
Theo định lí 3 ta có: x-y - 5.7 => X - —f= -	—
yj74 74
Theo định lí 3 ta có: 22 = l.x => X = 4
Theo định lí 1 ta có: y2 = x(l + x) = 4(1 + 4) = 20 => y = V20 = 2V5
Bài tập tương tự
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính độ dài AC, BC, AH. Biết AB = 18cm, HC = 16cm.
LUYỆN TẬP
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kè đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thắng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân X của hai đoạn thắng a, b (tức là X2 = ab) như trong hai hình sau:
Cách 1 (hình 8)	Cách 2 (hình 9)
__
b
Hình 9
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng. Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh
bằng nứa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Tìm X và y trong mỗi hình sau: Hình vẽ
Cho hình vuông ABCD. Gọi Hà một diêm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại ,L. Chứng minh rằng
Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tóng - +5ỊÉ7
không đổi khi I thay đối trên cạnh AB.
Giả i
AABC vuông tại A, có AB = 3, AC = 4, theo định lí Pitago, tính được
BC = a/32 + 42 = V9 + 16 = 725 = 5
Mặt khác, AB2 = BH.BC
BC 5 AC2 = CH.BC
AC2 42
=> CH = -£^— = -^- = 3,2
BC 5
FG = FH + HG = 1 + 2 = 3 EF2 = FH.FG = 1.3 = 3
=> EF = V3
FG2 = GH.FG = 2.3 = 6 => EG = Vẽ
Cách 1: (hình a)
Theo cách dựng, tam giác ABC có
đường trung tuyến AO bằng một nửa' cạnh BC, do đó AABC vuông tại A. Vì vậy AH2 = BH.CH hay X2 = ab.
Cách 2: (hình b)
Theo cách dựng, tạm giác DEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ADEF vuông tại D.' Vậy DE2ĩ =EI.EF hay X2 = a.b.
a) Theo định lí 2: X2 = 4.9 = 36 => X = 6
Do các tam giác tạo thành là vuông cân nên X = 2
V22 + 22 = VTF = 2V2
Theo định lí 2: 12' = 16.x => X = —— - 9 16
Theo định lí Pitago: y2 = 122 + x2.= 122 + 92
= V144 + 81 = V225 = 15
a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL, có:
K
E
c
L
AD = CD (cạnh hình vuông)
ADI = CDL (cùng phụ IDC)
Nên AADI = ACDL (cạnh góc vuông và góc nhọn) Suy ra DI = DL Hay ADIL cân.
Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao
DC. Theo định lí 4, ta có:
1	1	_ _Ị_
DL2 + DK2 “ DC2 Vì DI = DL nên
111
DI2 + DK2 ” DC2
DC không đổi nên tông ^2* + OK2" không đối khi I thay đối trên cạnh AB.