Giải Toán 9: Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN
§1. Sự XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRON.
TÍNH CHẤT ĐÔÌ XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC Cơ BẦN
Định nghĩa
Đường tròn tâm o có bán kính là R là hình gồm các điểm cách điểm o một khoảng R trong đó R > 0.
Kí hiệu (O; R) hoặc (O).
Cách xác định đường tròn
Định lí: Qua ba điếm không thẳng hàng ta vẽ được một và chi một đường tròn.
Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, c của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.
Các cách xác định một đường tròn
Cách 1: Một điếm o cho trước và một số thực dương R cho trước, ta xác định được duy nhất một đường tròn tâm o, bán kính R.
A’
Cách 2: Ba điểm không thẳng hàng, ta xác định được duy nhắt một đường tròn đi qua ba điểm đó.
Tâm đô'i xứng - Trục đô'i xứng
Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đốì xứng.
Tâm của đường tròn là tâm đốì xứng của đường tròn đó.
Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đớì xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đôi xứng của đường tròn.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng bốn điểm B, L, K, c nằm trên một đường tròn.
Giải
Chứng minh bốn điểm B, L, K, c nằm trên một đường tròn.
Ta có AABC cân nên đường cao AI cũng là trung tuyến, do đó I là trung điểm của BC.
ABLC và ABKC là các tam giác vuông nên:
IL = IK = IB = IC (tính chất đường trung tuyến
trong tam giác vuông)
Vậy bốn điểm B, L, K, c cách đều I nên chúng
.	, ■ ,	' T, , , , BC
năm trên đường tròn tâm I bán kính .
A
Bài tập cơ bản
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, c, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn
(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông
(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù
(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.
(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam ' giậc đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất.
Chứng minh các định lí sau:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(-1; -1), B(-l; -2), C(72; 72) đối với đường tròn tâm o bán kính 2.
Đô. Một tấm bìa hình tròn không còn dâu vết của tầm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.
Giải
Gọi o là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Ta có OA - OB = oc = OD (tính chất) nên bôn điểm a, b, c, d thuộc cùng một đường tròn (tâm o,
bán kính OA).
Theo định lí Pitago trong tam giác vuông ABC có:
AC = 7aB2 + BC2 = 7l22 + 52 - 7169 = 13 (cm)
Nên bán kính đường tròn là OA = 6.5cm.
Nối (1) và (5): Nếu tam giác có ba góc nhọn thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
Nôi (2) và (6): Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.
Nối (3.) và (4): Nếu tam giác có góc tù thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
a) Xét tam giác ABC vuông tại A (hình a). Gọi o là trung điểm của BC.
Ta có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OB = oc. Suy ra o là tâm của đường tròn đi qua A, B, c.
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
c
b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, ta có ỌA = OB = oc. Tam giác ABC có đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh BC suy ra.
Vậy tam giác ABC vuông tại A (hình b).
Gọi R là bán kính của đường tròn O: R = 2
Ta có:
OA = r + 1 = 2 => ỌA = V2 < 2 = R
=> A nằm bên trong (0)
OB + l2 + 22 = 5 => 0B = 75 > 2 = R
B nằm bên ngoài (O)
oc2 = (72 )2 + (Tã)2 = 4 => oc = 2 = R => c nằm trên o 5. Vẽ hai dây bất kì của hình tròn chẳng hạn
AB và CD.
OA2 = l2 + l2 = 2 => OA = 77< 2 = R A nằm bên trong (0)
OB2 + l2 + 22 = 5 => 0B = 75 > 2 = R B nằm bên ngoài (O)
AB và CD.
Vẽ đường trung trực của AB và CD. Giao điếm o của đường trung trực này chính là tầm cùa hình tròn.
Bài tập tương tự
Trên các cạnh AB, BC, CD, DA cùa hình vuông ABCD, theo thứ tự ta lấy các điếm E, F, G, H sao cho AE = BF - CG = DH. Gọi o là tâm của hình vuông.
Chứng minh bô’n điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn tâm là điếm o.
Biết AB = 7cm, AE = 4cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điếm E, F, G, H.
LUYỆN TẬP
Trong các biên báo giao thông sạu, biên nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?
Hình 58	Hình 59
7. Hãy nô'i mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng
định đúng:
(1) Tập hợp các điểrn có khoảng cách đến điểm A cô’ định bằng 2cm
(4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm.
(2) Đường tròn tâm A bán kính
2cm gồm tất cả những điếm
(5) có khoảng cách đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2cm.
(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điếm
(6) có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm.
(7) có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2cm.
Cho góc nhọn xAy và hai điếm B, c thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và c sao cho tâm o nằm trên tia Ay.
Dô. a) Vẽ liỉnh hoa bốn cánh. Hình hoa bôn cánh trên hình 60 được
tạo bởi các cung có tâm A, B, c, D (trong đó A, B, c, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.	0
b) Ve lọ lioa. Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, c, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.
Giải
I
I
I
I
6. Hình a có tâm đối xứng là tâm đường tròn, có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với các cạnh của hình chữ nhật trong đường tròn. Hình b có một trục đối xứng (xem hình), không có tâm đôi xứng.
Hình a	Hình b
Chú ý: Hình a, b, là các biến 102, 103a, trong luật giao thông đường bộ (trang 14 cuốn «Giáo dục pháp luật về trật tự an toàn giao thông», NXB Giáo dục, 2001).
Nối (1) và (4): tập hợp các điểm có khoảng cách đến điếm A cố định bằng 2cm là đường tròn tâm A bán kính 2cm
Nối (2) và (6): đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm toàn thể những điểm có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm
Nối (3) và (5): hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm toàn thể những điểm có khoảng cách đến điếm A nhỏ hơn hoặc bằng 2cm.
Tâm o nằm trên đường trung trực của BC và tâm o thuộc tia Ay. Nên tâm o là giao điểm của tia Ay và đường trung trực của BC.
a) Cách vẽ:
Vẽ hình vuông ABCD.
Lây A làm tâm vẽ cung tròn bán kính AB qua B và D, tương tự đôi với các đinh B, c, D.
Ta được bôn cung tròn tạo thành hình hoa bôn cánh, b) Cách vẽ:
Trên giấy kẻ ô vuông ta chọn hình vuông có độ dài mỗi eạnh là 4.
Trên mỗi cạnh lần lượt lây A, B, c, D là trung điểm (thứ tự, vị trí như trên hình vẽ).
Vẽ cung tròn tâm c bán kính là đường chéo ô vuông qua hai đỉnh của hai ô vuông liên tiếp. Tương tự với các đỉnh B, Đ, E.
Vẽ cung tròn tâm A, bán kính là đường chéo ô vuông nô’i liền với các cung có tâm là B, D.
Ta được năm cung tròn liền nét với nhau tạo thành hình chiếc lọ hoa.