Giải Toán 9: Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
§2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC VÃ7 = |A| A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi ^'A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức dưới dấu căn. Điều kiện để TÃ có nghĩa (hay TÃ xác định) TÃ có nghĩa khi A > 0 Hằng đẳng thức 7a2 = |A| 7^ = |A| = 6. Với giá trị nào của a thì mỗi b) 7-5 ã linh: a) 7(0, l)2 b) /-0,3)'- Rút gọn các biếu thức sau: a) 7(2- 73 )2 0 27T7 với a > 0 Tìm X, biết: a) Tx2" = 7 c* 74x2 = 6 Chứng minh: a) (73-l)2 = 4-277 .3 7. Tính: 2. Tính: -0,8ự(-0,125)2 b) ự(-3)4 0 7(73-2)2 d) 7(272 - 37 Giải -0,87(-0,1257 = -0,8|-0,125| = -0,8.0,125 = -0,1 TTãỹ = ự[(-2)2 ]- = |(-2)-| = |4| = 4 7(73-2)2 = |7ã - 2| = 2 - 73 (Vì 73 < 2) 7(272 -3)2. = |272 - 3| = 3 - 272 Bài tập cơ bản căn thức sau có nghĩa: 0 74-a d) 777+7 ? 0 -7(-l,3)2 d) -0,47(-0,4)2 7<3- 7ĨĨ)2 d) 37(a - 2)2 với a < 2 7x7 = |-8j Tõĩr =|-12Ị 74 - 273 - 77 = -1 Giải 6. a) Điều kiên xác đinh cúa là > 0 => a > 0. 3 Điều kiện -5a > 0 => a < 0. Điều kiện 4-a>0=>-a>-4=>a<4. 7 Điều kiện 3a + 7 > 0 => 3a > -7 => a > - . a) Tõã7 = Ị0,lj = 0,1 /-0,3)- = |-0,3| = 0,3 -7(-l,3)2 = -1-1,3| = -1,3 —0,4 x/( —0,4)2 = -0,4.Ị-0,4| = -0,4.0,4 = -0,16 a) 7(2- 73)2 = |2 - 77| = 2 - 77 (2 - 77 > 0 do 2 = 74 mà 74 > 77.) 7(3-.7ĨĨ)2 = |3 - 7ĨĨ| = 7ĨĨ - 3 (Vì 7ĨĨ - 3 > 0 do 3 = 71 màTĨĨ > 79). 27? = 2|a| = 2a với a > 0 3yJ(a - 2)2 - 3|a - 2| = 3(2 - a) (vì với a 0) a) 7? = 7 o |x| = 7 Xj = 7 và x2 = -7 7? = |-8| 7? = 8 o |x| - 8 Xj = 8 và x2 = -8 7Ĩ? = 6 o 7(2x)2 = 6 |2x| = 6 » |x| = 3 X, = 3 và x2 = -3 79? = |-12| » 7(3x)2 = 12 » |3x| - 12 |x| = 4 Xl = 4 và x2 - -4 a) Ta có: VT = (73 -1)2 = (73)2 - 2.73.1 + 1 = 3 - 273" + 1 = 4 - 273 Vậy: (73 - l)2 = 4 - 273 = VP. (dpcm) Theo câu a ta có VT = 74-273 - 73 = 7(73-l)2 - 73 = |7?3|-73 = 73-1-73 =-l VP (Vi 73-1 > 0)(dpcm) Ta viết được: 725 + Tĩẽ = 25 -16 736 + 725 - 36-25 Tổng quát, với n là số tự nhiên, ta chứng minh được: 7(n + l)2 + 7? = (n + l)2 - n2 Bài tập tương tự Tính: a^ b) T?7-70J? 74-273 d) 73 + 272 d) 7a2 - 1 e) 74 - a2 ạ-+ 1 a-2 Với giá trị nào của a thì các biểu thức sau có nghĩa: LUYỆN TẬP 11. Tính: 716.725 + 7Ĩ96 : 749 b) 36 : 72.32.18 - 7169 TTsĩ d) 732 + 42 Tìm X để mỗi căn thức sau có nghĩa: 72x + 7 b) 7-3x + 4 c) d) 7i + X2 a) 2y/ã^ - 5a với a < 0 c) V9F + 3a2 Phân tích thành nhân tử: a) X2 - 3 c) X2 + 2a/3x + 3 Hướng dẫn: Dùng kết quả: Với a > 0 thì a - (Vã)2 Giải các phương trình sau: X2 - 5 = 0 Rút gọn các biếu thức sau: ự25a2 + 3a với a > 0 õựĩã77 - 3a3 với a < 0 X2 - 6 X2 — 27õx + 5 X2 -2VĨĨX + 11 = 0 16. Đô': Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây: Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng. V (gam). Ta có: m2 + V2-V2 + m2 Cộng cả hai vế với -2mV, ta có: m2 - 2mV + V2 = V2 - 2mV + m2 hay (m - V)2 = (V - m)2 Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được: ự(m - V)2 = ự(V - m)2 Do đó m - V = V - m Từ đó ta có 2m = 2V, suy râ m - V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Giải a) Tĩẽ.x/25 + 7Ĩ96 : 749 = x/ĩrvir + Vũ7 : Vv7 = 4.5 + 14 : 17 = 20 + 2 = 22 36 : V2.32.18 - 7Ĩ69 = 36 : 732.36 - VĨI7 = 36 : 732.62 - 13 = 36 : Tĩi7 - 13 = 36 : 18 - 13 = -11 Ttsi" = 7T97 = 79 = V32" = 3 732 + 42 = 79 + 16 = 725 = Võ7 = 5 a) Ta có 72x + 7 có nghĩa khi 2x + 7 > 0. 7 2x + 7>02x>-7x>--h 2 7 Vậy 72x + 7 có nghĩa khi x - 2 4 -3x + 4 > 0 -3x > -4 X < 3 có nghĩa khi —--— > 0 -1 + X —-— >0-l + x>0ox>l ' c) b) 7-3x + 4 có nghĩa khi -3x + 4 > 0 -1 + X 7l + X2 có nghĩa khi 1 + X2 > 0 mà 1 + X2 > 0 với mọi X (vì X2 > 0 nên X2 + 1 > 0) nên 7l + X2 có nghĩa với mọi X. a) 2\íã^ - 5a = 2|a| - 5a = -2a - 5a - -7a (do a < 0 nên ja| = -a) 725a2 + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a - 8a (do a > 0 nên |a| = a) 79a’ + 3a2 - 7(3a2)2 + 3a2 = |3a2j + 3a2 = 3a2 + 3a2 = 6a2 (do a2 > 0 với mọi a nên |3a2| = 3a2) õTĩã3" - 3a3 = 5ự(2a3)2 - 3a3 = 5 2a3| - 3a3 Với a < 0 thì ị2a3| = -2a3 nên õ|2a3 - 3a3 = -10a3 - 3a3 = -13a3 á) X2 - 3 = X2 - (73)2 = (x - 73)(x + 73) X2 - 6 = X2 - (Tẽ)2 - (x - 7f>)(x + Tẽ) X2 + 273x + 3 = X2 + 273x + (Tã)2 = (x + 7s)2 X2 - 275x + 5 = X2 - 275x + (7õ)2 = (x - 7õ)2 a) X2 - 5 = 0 X2 = 5 X, = 75 ; x2 = -75 Cách khác: X2 - 5 = 0 o X2 - (7õ)2 = 0 (x - 7õ)(x + 75) = 0 Hoặc X — 75 = 0 X = 75 Hoặc X + 7B = 0 X = -75 Phương trình có hai nghiệm X] =75 , X = -75 . b) X2 -27ĨĨX + 11 = 0 o X2 -27ĩĩ.x + (7ĩĩ)2 =0 (x-7ĩĩ)2 = 0 X-7ĨĨ = 0_p X = 7ĨĨ Phương trình có một nghiệm X = 7ĨĨ • Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m - V)2 = (V - m)2 ta phải được kết quả m - V| = |V - m| chứ không thê cóm-V = V- m (theo hằng đẩng thức VA' = ỊA|). Do đó, con muỗi không thê nặng bằng con voi.