Giải Toán 9: Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Chương II. HÀM số BẬC NHAT
§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG
CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM số
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Khái niệm hàm sô'
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi X sao cho với mỗi giá trị cua X ta luôn xác định đựợc chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là liàm số cúa x, và X được gọi là biến số.
Hàm số có thế được cho bằng bảng hoặc cho bằng công thức.
Đổ thị hàm sô'
Tập hợp tất cả các điếm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị cứa hàm số y = f(x).
Kàm sô'đồng biến, nghịch biên: Xét hàm sô'y = f(x)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp số thực R. Với Xp X., bất kì thuộc R:
Nếu X] f(x9) thì hàm sô y = f(x) nghịch biến trên R.
1. Bài tập mẫu
1. Cho hàm số f(x) = y X + 2. Tính f(-4). 4
. f(-4)= ^(-4)+ 2 4
2
3
-12
; f(2), f(a + 1)
Giải
+ 2 = -l
13
8
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
• f(0) = J .0 + 2 = 2
4.1 + 24 + 2 = 1
Cho hàm	số y = -3x. Chứng minh	rằng	hàm số nghịch biến trên
Giải
Gọi Xp x2 là các số thực bất kì sao cho Xj < x9.
Ta xét fix,) - f(x2) = -3xj - (-3x9) = -3(x1 - x9).
Biếu thức này là số (lương vì Xj - X9 fix.,).
• Vậy hàm số y = -3x nghịch biến trong tập số thực R.
Bài tập cơ bản
2
a) Cho hàm số y = f(x) = — X.
-Tính: f(-2);	fi-1); fiO); ffji; fil); f(2);	f(3)
Cho hàm số y = g(x) = — X + 3.
Tính: g(-2);	g(-l); g(0);	g^2;;	g(1);	g(2);	g(3)
Có nhận xét gì về giá trị cùa hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị?
Cho hàm sô y = - -V X + 3.
a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của X rồi điền vào bảng sau:
X
-2,5
-2.
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1.5
2
2,5
' 1
y = - —X + 3
2
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?
3. Cho hai hàm số y = 2x và y = -2x.
Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.
Trong hai hàm số đã cho, hàm sô nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Vì sao?
Giải
a) f(-2) = j(-2) = y;f(-l) = j(-l) =
f(O) = |.o'=O;ff^i = | ỉ = ị 3	<2j	3 2	3
- 2	2	4
f(l) = ±.l = ±;f(2) = ^.2 = ^
3	3	3
f(3) = 1-3 = 2
3
b) g(-2) = j(-2) + 3 = -j + 3 = j
2	7
g(—1) = —.(—1) + 3 = —— + 3 = —
3	3
g(0) = j.0 + 3 =	3	.
'lì đ2 1 .	1 , o _ 10
3 2	3	3 .
g(l) = |-l + 3 = | + 3 = ^
Xj.LLlX|
□ IX
6	3	3	3
Từ kết quả câu a, b ta được bảng sau:
X
-2
-1
0
1
2
1
2
3
2
y = f(x) = - X
3
4
~3
2
3
0
1
3
2
3
4
3
2
2
y = g(x) = |x + 3
-— + 3
3
-2 + 3
3
0 + 3
- + 3
3
+ 3
3
— + 3
3
Ẽ + 3
3
Nhận xét:
2 2
Các hàm số y = f(x) = -r và y = g(x) = -| X + 3 là hai hàm số đồng
biến vì khi X lấy giá trị tăng thì y cũng nhận các giá trị tương ứng tăng lên.
Cùng một giá trị của biến X, giá trị của hàm sô y = g(x) luôn luôn lớn hơn giá trị tương ứng của hàm sô' y = f(x) là 3 đơn vị.
a) Ta có: X = -2,5 => y- = -|(-2,5) + 3 = 4,25
X =-2 => y = - L (-2) + 3. = 1 + 3 = 4 £
X = -1,5 => y = -|(-1,5) + 3 = 0,75 + 3 = 3,75
2
x = -l =>y = -ị(-l) + 3 = ị + 3 = 3,5 2 2
x = -0,5=>y = -| (-0,5) + 3 = 0,25 + 3 = 3,25 2
x = o=>y-- —.0. + 3 = 3 2
x = l=>y = -|.l + 3 = 2,5
X = 1,5 => y = - j .1,5 + 3 = -0,75 + 3 = 2,25
x = 2=>y = -ị.2 + 3 = -l + 3 = 2 .
2
X = 2,5 => y = -1.2,5 + 3 = -1,25 + 3 = 1,75 2
Ta được bảng sau:
X
-2,5
-2
-1.5
-1
-0,5
0
1
1,5
2
2,5
1
y = --X + 3
2
4,25
4
3,75 .
3,5
3,25
3
2,5
2,25
2
1,75
\ 2 \l
/ //
"/À(l,2)
/ 1 / 1
/ 1
' 1 1 ,
' °/
\ il 2 x
/l
\ 1
\B(1,2)
/ '2
V\\
b) Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên R vì giá trị của biến X tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi.
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Với hàm số y = 2x cho X = 1 ta được y = 2, điểm A(l;
2) thuộc đồ thị hàm số y - 2x, nên đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y - 2x.
Với hàm số y = -2x cho X = 1 ta được " y = -2, điếm B(l; -2) thuộc đồ thị hàm số y = -2x, nên đường thẳng OB là đồ thị của hàm số y = -2x.
b) Ta có O(xj = 0, yx = 0) và A(x2 - 1; y2 = 2)
thuộc đồ thị hàm số y = 2x, nên với Xj < x2 ta được f(xj) < flx2). Vậy hàm số y = 2x đồng biến trên R.
Lại có O(x1 = 0, y1 = 0) và B(x3 = 1; y3 = -2) thuộc đồ thị hàm số y = -2x, nên với x1 < x3 ta được f(Xj) < fíx3). Vậy hàm số y = -2x nghịch biến trên R.
Bài tập tương tự
Cho hàm số y = f(x) = 2x - 372.
r-
Tìm f"(—3), f(0), f — , f(72 -1)	b) Tìm X để f(x) = 72 ■
Xét sự biến thiên của hàm số y = 2x + 3 trên R.
LUYỆN TẬP
Đồ thị hàm số y = 7ãx được vẽ bằng compa và thước thẳng ở hình 4.
Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = X và
y = 2x trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy (hình 5).
Hình 5
Đường thẵng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ y = 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = 2x, y = X tại hai điếm A và B.
Tìm tọa độ cùa các điếm A, B và tính chu vi, diện tích của tam giác OAB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet.
6. Cho các hàm sô y = 0,5x và y = 0,5x + 2.
a) Tính giá trị -y tương ứng của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:
X
-2,5
-2,25
-1,5
-1
0
1
1,5
2,25
2,5
y = 0,5x
y = 0,5x + 2
b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số đó khi biến X lấy cùng một giá trị?
7. Cho hàm số y = f(x) = 3x.
Cho X hai giá trị bất kì Xp x9 sao cho Xj < x9.
Hãy chứng minh f(Xj) < f(x9) rồi rút ra kết luận hàm sô đả cho đồng biến trên R.
Giải
• Cách vẽ:
Cho X = 1 ta được y = 73.1 = 73 :
Dựng điểm M(l,73). Vẽ đường thẳng qua O,M được đồ thị hàm sò y = 73x.	'	_
Các bước vẽ đồ thị hàm số y = 73x.
Dựng điếm A(l; 1). Vẽ OA ta được OA =*7l2 +12 = 72 •
Dựng điểm 72 trên trục hoành Ox: vẽ cung tròn bán kính OA - 72 , cắt Ox tại điểm có hoàrih độ là 72 -
Dựng điểm B(72; 1) • Vẽ OB ta được
OB = 7(72 )2 + 12 = 72 + 1 = 73
Dựng điểm Tã trên trục tung Oy: vẽ cung tròn bán kính OB - 73 > cắt Oy tại điểm có tung độ là 73 -
Dựng điếm M(l; 73).
Vẽ đường thắng qua o, M ta được đồ thị hàm số y = 73 X.
a) Vẽ đồ thị: Học sinh tự vẽ.
b) Tìm tọa độ của các điểm A, B.
Theo hình vẽ ta có A(2; 4) và B(4; 4).
Thật vậy tung độ cùa A và B đều là 4.
Hoành độ của A là: 4 = 2.x => X = 2 Hoành độ của B là: 4 = X => X - 4
Tìm độ dài các cạnh của AOAB.
Ta có:	OA = 72- + 42 = 74 + 16 = 720 (đvđd)
OB = 742 + 42 = 716 + 16 = \/32 (đvđd)
AB = 4-2 = 2 (đvđd)
Chu vi AOAB: oa + OB + AB = ý 20 + 732 + 2
= 7T5 + 7Ĩ6Ĩ2 + 2 = 275 + 472 + 2 = 2(75 + 272 + l)(đvđd)
Diện tích AOAB: S,)AB = SOBM -S()MA = -OM.MB - — OM.MA
= ị 4.4 -ị 4.2 = 8-4 = 4 (đvdt)
2 _ 2
a) Sau khi tính giá. trị của mỗi hàm số theo các giá trị của X đã cho ta được bảng sau:
X
-2.5
-2.25
-1.5
-1
0
1
1.5
2.25
2,5
y = 0,5x
-12.5
-1.125
-0.75
-0.5
0
0,5
0.75
1.125
1,25
y = 0,5x + -2
-1.25 + 2
1.135 + 2
0.75 + 2
-0.5 + 2
0 + 2
0.5 + 2
0.75 + 2
1.125 + 2
1,25 + 2
Nhận xét: Cùng một giá trị của biến X, giá trị của hàm số y = 0,5x + 2 luôn luôn lớn hơn giá trị tương ứng của hàm số y - 0,5x là 2 đơn vị.
Cho X các giá trị thực bát kì Xp X., sao cho X1 X1 - x9 < 0.
Ta có: f(Xj) = 3xp f(x9) = 3x.)
Nên f(Xj) = f(x.;) = 3xj - 3x9 = 3(xj - x9) < 0.
Suy ra /(xp < f(x9).
Vậy với Xj < x9 ta được f(Xj) < f(x9) nên hàm số y = 3x đồng biến trên tập hợp số thực R.