Giải Toán 9: Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ
KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐEN dây
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định lí 1
Trong một đường tròn
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lí 2
Trong hai dây của một đường tròn
Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
Dây nào gần tâm-hơn thì lớn hơn.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD. Các đường thẳng AB và CD gặp nhau tại diêm p nằm ngoài (O); H và K theo thứ tự là trung điểm của các dây AB và CD. Hãy so sánh PH và PK biết AB > CD.
Giải
Cách 1:
Ta có: HA = HB OH 1 AB tại H.
(Đường kính qua trung điểm của một dây)
Tựơng tự: KC = KD
=> OK i CD tại K.
Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông HOP và KOP, ta có:
PH2 + OH2 = PO2 PK2 + OK2 = PO2 => PH2 + OH2 = PK2 + OK2 o PH2 - PK2 = OK2 - OH2
Theo ĐL liên hệ giữa dây và khoảng cách từ dây đến tâm ta có AB > CD	*
zx> OH OH2 OK2.- OH2 > 0
Do đó: PH2 - PK2'> 0 PH2 > PK2 Vậy: PH > PK
Bài tập cơ bản
Cho đường tròn tâm o bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
Tính khoảng cách từ tàm o đến đây AB.
Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = lem. Kế dây CD đi qua
I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điếm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng niinh rằng:
EH = EK
EA = EC
Giải
a) Kẻ OH vuông góc với AB tại H.
Ta đươc AH = — AB = 4 cm ■ 2
Trong tam giác vuông OAH có:
OH2 = OA2 - AH2 = 52 - 42 = 9
Suy ra OH = 3cm(l)
Vậy khoảng cách từ tâm o đến dây AB là OH = 3cm. b) Kẻ OK vuông góc với CD tại K. Tứ giác OHIK có H = ĩ = K - lv nên là hình chữ nhật.
Lại có IH = AH - AI = 4 - 1 = 3cm (2)
Nên OH = IK = 3cm (Tính chất hình chữ nhật)
Suy ra CD = AB (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau).
E
a) Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (Định lí 3)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung OH = OK
Nêu AOEH = AOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra EH = EK	(1)
b) Ta có: OH 1 AB nên AH = — AB (định lí 1)
Tương tự KC = — CD .
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC	(2)
Từ (1) và (2) suy ra
EA = EH + HA = EK + KC = EC Vậy EA = EC.
Bài tập tương tự
Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung diêm của AB và CD. Cho biết AB > CD. Chứng minh MH > MK.
LUYỆN TẬP
Cho đường tròn tâm o bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là o. Cho biết AB > CD.
Hãy so sánh các độ dài:
OH và OK
ME và MF
MH và MK
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Giải
14. Kẻ OH ± AB, OH ± CD. Ta thây H, o, K thẳng hàng. Ta có: AB
AH = —— = 20 cm; KH = 22 cm 2
Trong tam giác vuông AHO có:
OH2 = OA2 - AH2 = 252 - 202 = 225 Nên OH = x/225 = 15 (cm)
Do đó OK = KH - OH = 22 - 15 = 7 (cm) Trong tam giác vuông COK có:
CK2 = CO2 - OK2 = 252 - 72 = 576 Nên CK = 7576 = 24 Suy ra CD = 2CK = 48cm.
a) Trong đường tròn nhỏ:
AB > CD => OH < OK (định lí 3)
Trong đường tròn lớn:
OH ME > MF (định lí 3)
Trong đường tròn lớn:
ME > MF => MH > MK
Kẻ OH 1 EF.
Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc'ngắn hơn đường xiên).
Do OA > OH nên BC < EF (định lí 3).