Giải Toán 9: Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
Câu hỏi
Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tầm của đường tròn nội tiếp tam giác.
Chỉ rõ tâm đôi xứng của đường tròn, trục đổì xứng của đường tròn.
Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Nêu các vị trí tương đô’i của đường thẳng và đường tròn, úng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).
Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn. Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ưng với mỗi vị trị đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.
Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đốì với đường nốì tâm? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nôi tâm?
Trả lời
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đinh của tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao diêm của các đường trung trực của các cạnh tam giác.
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm cúa các tia phân giác cúa các góc trong của tam giác.
Tâm cùa đường tròn là tàm đôi xứng của đường tròn- đó. Mọi đường kính của đường tròn đều là trục đối xứng cúa đường tròn.
Vậy dây CD luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2R hay	
đường kính là dây lớn nhất.
Nếu một đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Ngược lại, một đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải là đường kính thì vuông góc với dây ấy.
Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
Xem sách giáo khoa.
- Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một diêm chung
với đường tròn.
Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điếm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một diêm thì:
Điém đó cách đều hai tiếp diêm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác cua góc tạo bới hai tiêp tuyên.
Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác cùa góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điêm.
Gọi R, r là hai bán kính, d là đoạn nối tâm.
VỊ trí tương đối
Hệ thức giữa d, R, r
Minh hoa
Cắt nhau
R - r < d < R + r
C©
Tiếp xúc nhau
Ngoài nhau
d = R + r
Trong nhau
d = R - r
©
Không cắt nhau
Ngoài nhau
d > R + r
Hn
Đựng nhau
d < R - r d - 0: Đồng tâm
Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì nằm trên đường nối tâm.
- Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau thì đôi xứng với nhau qua đường nôi tâm.
BÀI TẬP
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (0), (K) và (0), (I) và (K).
Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
Chứng minh rằng EF là tiếp tuyên chung của hai đường tròn (I) và (K).
Xác định vị trí của điểm H đế EF có độ dài lớn nhất.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B G (0), c e (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điếm M. Gọi E là giao diêm của OM và AB, F là giao điếm của O’M và AC. Chứng minh rằng:
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
ME.MO = MF.M0’
00’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
BC là tiếp tuyến- cúa đường tròn có đường kính là 00’.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của 00’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại c và D (khác A).
Chứng minh rằng AC = AD.
Gọi K là điếm đôi xứng với điểm A qua điếm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.
Giải
a) Hình bên
10 = OB - IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = oc - KC => (K) tiếp xúc trong với (O).
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K).
Tứ giác AEHF có Â = Ê = F = 90° nên là hình chữ nhật.
Chú ý: Từ các tam giác nội tiêp đường tròn
ABC,-BEH, CEH ta rút ra nhận xét sau: “Nếu tam giác nội tiêp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông”.
AAĨÍB vuông nên AE.AB = AH2, AAHC vuông nên AF.AC = AH2.
Suy ra AE.AB = AF.AC. ..
F, + H,
Gọi G là giao điếm cúa AH và EF.
AEHF là hình chữ nhật AH = EF => GH = GF =:
AKHF cân F2 + Họ
Suy ra F, + Fo = Hl + Họ .= 90"
Do đó EF là tiêp tuyên của đường tròn (K) .
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Hình bên
Cách 1: EF = AH AH - OA H trùng o dây AD đi qua o.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại o thì EF có độ dài lớn nhất.
Cách 2: EF=AH=|aD
Do đó: EF lớn nhất AD lớn nhất o Đây AD là đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại o thì EF có độ dài lớn nhát.
a) Hình a
MA và MB là các tiếp tuyến của (O).
=> MA = MB, Ml = Ml
AAMB cân tại M, ME là phân giác của góc AMB => ME 1 AB.
Tương tự M3 = M4 và MF ± AC.	-	—
MO và MO’ là các tia phân giác của hai góc kề bù => MO 1 MO’.
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
ME.MO = MA2 (hệ thức lượng trong AMAO vuông)
MF.MO’ = MA2 (hệ thức lượng trong AMAO’ vuông)
Suy ra ME.MO = MF.MO’
Đường tròn có đường kính BC có tâm là M, bán kính MA.00’ vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).
Hình b
í
Gọi I là trung điếm của 00’, I là tâm cua
đường tròn có đường kính là 00’, IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền cúa ÁM00’). IM là đường trung bình cua hình thang OBCO’ nên IM // OB // O’C. Do đó IM 1 BC.
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến .của đường tròn (I).
a) Chứng minh AC = AD.
Kẻ OM 1 AC.
Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây, ta có:
MA = MC
Tương tự, kẻ O’N ± AD => NA = ND
0M//IA//0’N
Ta có : 0M1CD IA1CD > 0’NlCD
Vậy tứ giác 0MN0’ là hình thang vuông. Ta còn có 10 = 10’ (gt)
và IA // OM
Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO’.
Suy ra AM = AN
hay 2AM = 2AN hay AC = AD (đpcm)
b) Chứng minh KB 1 AB.
- Ta có 00’ là đường nối tâm của (O) và (O’) nên 00’ là đường trung trực của AB.
Suy ra IE ± AB và EA = EB
Ta có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I) và EA = EB
Vậy IE là đường trung bình của tam giác AKB Suy ra IE // KB Mà IE 1 AB
Suy ra KB ± AB (đpcm)