Giải Toán 9: Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

§4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH
VA GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định lí
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.
Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hay nhân với cotg góc kề.
Hệ thức
Cho AABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có hệ thức:
87 .
BC = .
sinC
2. Bài tập cơ bản
26. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đâ't một góc xấp xỉ bằng 34° và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).	34°
—=-^- = 12(cm) sin 30° 0,5
86m
Hình 30
b) c = 10cm, C = 45° d) c = 21cm, b = 18cm
b = a . sinB = a . cosC c = a . sinC = a . cosB
b = c . tgB = c . cotgC c = b . tgC = b . cotgB
Áp dụng giải tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai yếu tô (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được tất cả các yếu tô còn lại của nó. Bài toán này gọi là bài toán “giải tam giác vuông”.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài ỉập mẫu
Giải tam giác ABC vuông ở A, biết: AC = 10cm, C = 30° •
Giải
Trong tam giác vuông ABC có A = 90° nên B + C = 90.
Suy ra B = 90° - C = 90° - 30° = 60°.
Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
AB = AC . tgC = 10 . tg30° = 10.0,5774 = 6 (cm)
AB
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng
b = 10cm, C = 30°
a = 20cm, 3 - 35°
Giải
Kí hiệu như hình vẽ. Chiều cao cúa tòa nhà là b = AC.
Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông,
ta có b = c.tgB = 86.tg34° = 86.0,6745 = 58 (m)
a) 3 = 90° - C = 60° ■- c = b.tgC = 10.tg30° = 5,77 (cm)
a = .b =	10	~ 11,55 (cm)
b)
c)
d)
sìnB sin 60°
B = 90° - c = 45°, b = c = 10(cm), a = 1 0V2 ~ 14,14 (cm) c = 90° - B = 55° > b = asinB = 2O.sin35° » 11,47 (cm)
c = asinC = 2O.sin55°16,38 (cm)
18
sin41°
b
sin B
* 27,439 (cm)
0,656
tgB = - = ịậ => B = 41° => c * 49° c 21
Bài tập tương tự
Giải tam giác ABC vuông ở A, biết:
c = 21cm, b = 18cm
a = 7cm, 3 _ 41°
LUYỆN TẬP
Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc a
Hình 32
Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đấy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc a trong hình 32).
Cho tam giác ABC, trong đó BC = llcm, ABC = 38°, ACB = 30° • Gọi điếm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
a) Đoạn thẳng AN.
b) Cạnh AC.
Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.
Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6cm, ABC = 90°, ACB = 54° và ACD = 74°	•
Hãy tính:
AB
ADC
Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 -phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70°. Từ đó đã cọ thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét).
Giải
Kí hiệu như hình bên. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
AC 7
tga =	« 1,75 =} a « 60°15'
AB 4
Dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc là:
0,7813
cosa =
320
250
_ỊỊ _ „ - ■
Suy raa» 38°37.
Kẻ BK ± AC (K e AC). Trong tam giác vuông BKC có KBC = 90° - 30° - 60°, suy ra KBA = 60° - 38° = 22°; BC = 11 (cm) i BK = 5,5 (cm). Vậy
AB = —BK . =	~ 5,93 <cm)
cosKBA cos22°
a) AN = AB.sinB ~ 5,93sin 38° AN ' 3,65 (cm)
AN 3,65
b) AC =
= 7,3 (cm)
sinC sin30°
a) AB = AC . sinC = 8.sin54° ~ 6,47 (cm)
b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH
(hình). Ta có AH = AC, sinACH = 8.sin74°
AH ~ 7,69 (cm)
AH 7,69
sin D = ~'
AD 9,6
=> ADC = D « 53°
Ta có thế’ mô tả khúc sông và đường đi
của chiếc thuyền bởi hình bên.
AB là chiều rộng của khúc sông.
AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền.
Theo giả thiết thuyền qua sông mất 5 phút
với vận tốc 2 km/h (~ 33m/phút), do đổ AC «
33.5 = 165 (m).
Vậy trong tam giác vuông ABC đã biết 0 _ 70°, AC
thể tính được chiều rộng của dòng sông.
AB = ACsinC ~ 165.sin 70° « 155 (m)