Giải Toán 9: Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

§8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỘÌ CỦA
HAI ĐƯỜNG TRÒN (TIẾP THEO)
A. KIẾN THỨC Cơ BAN 1. Hệ thức giữa đoạn nôi tâm và các bán kính
Vị trí tương đối hai đường tròn (O, R) và (O', r)
Sô điểm chung
Hệ thức giữa OO' với R và r
Hai đường tròn cắt nhau.
2 điểm chung
R - r < 00' < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
Tiếp xúc ngoài
Tiếp xúc trong
1 điếm chung
00' = R + r
00’ - R - r > 0
Hai đường tròn không giao nhau:
ơ ngoài nhau
(0) đựng (O')
0 điếm chung
00' < R + r
00' < R - r
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cho hình thang OO’BA vuông tại o và O’. Xét vị trí tương đổì giữa hai đường tròn (O; OA) và (O’; O’B) biết O’B = 1, AB = 5.
Giải
Gọi R, r lần lượt là bán kính của đường tròn (O), (O’).
Ta có R = OA = 4; r = O’B = 1
Hạ BH 1 OA
Ta có 00’ = HB và OH = O’B Do đó AH = OA - OH = 4 - 1 = 3 Tam giác AHB vuông tại H nên
HB2 = AB2 - AH2 = 25 - 9 = 16 => HB = 4 => 00’ = 4
Mặt khác R-r=4-l=3 R + r = 4 + 1 = 5
Do đó R - r < 00’ < R + r Vậy (O) và (O’) cắt nhau.
Bài tập cơ bản
Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có 00’ = d, R > r).
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Sô điếm chung
Hệ thức giữa d, R, r
(0; R) đựng (O'; r)
d > R + r
Tiếp xúc ngoài
d = R - r
2
Cho đường tròn tâm o bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
Hãy xác định vị trí tương đôi cúa hai đường tròn.
Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở c. Chứng minh rằng AC = CD.
Cho hai đường tròn đồng tâm o. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở c và D. Chứng minh rằng AC = BD.
Giải
VỊ trí tương đôi
Sô điếm chung
Hệ thức giữa d, R, r
(0) đựng (O’)
0
d < R - r
ơ ngoài nhau
0
d > R + r
Tiếp xúc ngoài
1
d = R + r
Tiếp xúc trong
1
d = R - r
Cắt nhau
2
R-r<d<R+r
35. Dựa vào bảng tóm tắt về vị trí tương đôi của hai đường tròn và
các hệ thức giữa d, R, r ta có bảng sau:
a) Gọi o là tâm của đường tròn bán kính OA, O’ là tâm của đường tròn đường kính OA. Ta có: 00’ = OA = O’A	A
Vậy (O’) tiếp xúc trong với (O). b) Cách 1: O’A = O’C (bán kính) nên AO’AC
cân tại 0’.
Lại có OA = OD (bán kính) nên AOAD cân tại D.
Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ỏ đỉnh nên ACO' = D suy ra ơc // OD (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong)
AA0D có AO’ = 0’0 và O’C // OD nên AC = CD.
Cách 2: AACO có đường trung tuyến CO’ bằng — AO nên ACO = 90°.
Tam giác AOD cân tại o có oc là đường cao nên là đường trung tuyến, do đó AC = CD.
Cách 3: Trong đường tròn (O) có oc 1 AD nên suy ra AC = CD (đường vuông góc với một dậy).
Nên AC = HA - lie = HB - I ID = BD.
Vậy AC = BD.
Trường hợp vị trí các điếm theo thứ tự là A, D, c, B chứng minh tương tự.
Bài tập tương tự
Cho đường tròn tâm o bán kính OA và đường tròn tâm O’ có đường kính OA.
Hãy xác định vị trí của hai đường tròn (0) và (O’).
Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở c. Chứng minh AC = CD.
LUYỆN TẬP
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...):
Tâm của các đường tròn có bán kính lem tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3cm) nằm trên...
Tâm của các đường tròn có bán kính lem tiếp xúc trong với đường tròn (O; 3cm) nằm trên...
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyên chung ngoài BC, B e (O), c e (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
Chứng minh rằng BAC = 90° •
Tính sô đo góc OIO’.
Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.
Đố. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được
khớp vào nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nàq hệ thông bánh răng không chuyển động được?
b.)
Hình 99
Giải
a) Tâm của các đường tròn có bán kính lcm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3cm) nằm trên đường tròn (O; 4cm).
Tâm của các đường tròn có bán kính lcm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 3cm) nằm trên đường tròn (O; 2cm).
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.
Tam giác ABC có đường trung tuyến
4T . 1 ,	
AI băng — BC nên là tam giác vuông. Vậy BAC = 90°.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có 10, 10’ là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:
010' = OIA + o' IA = ị AIB + ị AIC = ị (AIB + AIC)
	 2 2 2
Vậy 010' = 90°.
Tam giác 010’ vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:
IA2 = AO, AO’ = 9.4 = 36 => IA = 6 (cm)
Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)
Trên các hình a, b hệ thống bánh răng chuyến động được. Trên hình c, hệ thông bánh răng không chuyến động được.
Cách giải thícli: Vẽ chiều quay của từng bánh xe. Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều của kim đồng hồ). Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau.
Hình c bánh xe có tâm là 05 vừa có chiều quay cùng chiều kim đồng nên hệ thống bánh răng không chuyến động được.