Giải Toán 9: Bài 4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

VÀ ĐƯỜNG THẲNG CAT NHAU
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Đường thẳng song song
Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’	0) là song song
với nhau khi và chỉ khi a = a’; b í b’ và trùng nhau khi và chĩ khi a = a’ và b = b’.
Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a * 0) và y = a’x + b’ ta’ * 0) cắt nhau khi và chỉ khi a + a’.
Tóm tắt: Xét hai đường thẳng y = ax + b (dQ và y = a’x + b’ (dQ)
Ta có:	(dj) cắt (d9) a * a’
(dj) // (d2) a = a’, b + b’
(dj) trùng, với (d2) a = a’, b = b’
B. HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho đường thẳng (d): y = (ạ - l)x - 2a + 3 và (d’): y = (2a + 1 )x + a + 4. Xác định a để:
(d) và (d’) cắt nhau	b) (d) và td’) song song
(d) và td’) trùng nhau
(d) và td’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Giải
(d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi:
(a - 1) # 2a + 1 a # -2
I a - 1 = 2a + 1 I -2a + 3/a + 4
1 a = -2
(d) và (d’) song song khi và chỉ khi: ra = -2
c) (d) và (d’) trùng nhau khi và chỉ khi:
[a - 1 = 2a + 1 I -2a + 3 = a + 4
a = -2
Vậy không có a để (d) và (d’) trùng nhau.
(d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì có tung độ gốc bằng nh.au do đó	1
-2a + 3 = a + 4 a = g
Bài tập cơ bàn
Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhaú trong số các đường thẳng sau:
a) y - l,5x + 2	b) y	- X + 2	c) y - 0,5x - 3
y = X - 3	e) y	= l,5x - 1	f) y-= 0,5x + 3
Cho hai hàm số bậc	nhất y = mx + 3 và	y -	(2m + l)x - 5.
Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:
Hai đường thẳng song song với nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x.
Khi X = 2 thì hàm số có giá trị y = 7.
Giai
Ta có hai đường thẳng y = ax + b (a * 0) và y = a’x + b’ (a’	0) cắt
nhau khi và chỉ khi a a’. Nên ba cặp đường thẳng cắt nhau trong số các đường thẳng đã cho là:
y = l,5x + 2vày = x + 2;y = l,5x + 2 và y = 0,5x - 3 y = x + 2vày = 0,5x - 3 hay y = X - 3 và y = l,5x - 1; y = X - 3
và y = 0,5x + 3; y = l,5x - 1 và y = 0,5x + 3, v.v...
Ta có hai đường thẳng y = ax + b (a í 0) và y = a’x + b’ (a’	0) song
song với nhau khi và chỉ khi a = a’; b b’.
Nên các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường
thẳng đã cho là:
' y = l,5x + 2 và y = l,5x -l;y = x + 2vày = x- 3 y = 0,5x - 3 và y = 0,5x + 3
Hàm số y = mx + 3 có các hệ số a = m và b = 3.
Hàm số y = (2m 4- l)x - 5 có các hệ số a’ = 2m + 1 và b’ = -5
Các hàm sô đã cho là hàm sô bậc nhất do đó các hệ số của X phải
khác 0, tức là m / 0 và 2m + 1/0 hay m / ó và m í - —.
Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a’ và b * b’.
Theo đề bài, ta có b b’ (vì 3 * -5). Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a - a’, tức là m = 2m + 1 m - -1. Kết hợp với điều kiện trên m = -1 là giá trị phải tìm.
Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a* a’ tức làm / 2m + 1 m í- -1.
Kết hợp với điều kiện trên ta có m / 0, m * - — vàm / -1.
a) Đường thẳng y = ax + 3 song song với đường thẳng y - -2x, do
đó, ta có: a = -2. Hàm số có dạng y = 2x + 3.
Vì hàm số y - ax + 3 có giá trị là 7 khi X = 2, do đó ta có:
7 = a.2 + 3 => a = 2. Hàm số có dạng y - 2x + 3.
B. BÀI TẬP TƯƠNG Tự
Cho hàm số y - (2m - 3)x - 1.
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -5x + 3. Vẽ đồ thị.
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 0).
Tìm giá trị cùa m đế đồ thị của hàm số đã cho và các đường thẳng y = lvày = 2x-5 đồng qui-tại một điểm.
LUYỆN TẬP
Cho hàm số y = 2x + b. Hãy xác định hệ số b trong mỗi trường hợp sau:
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại diêm có tung độ bằng -3.
Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A(l; 5).
Cho hai hàm sô bậc nhât y = 2x + 3k và y =(2m + l)x + 2k - 3.
Tìm điều kiện đối với m và k đế’ đồ thị của hai hàm số là:
Hai đường thẳng cắt nhau.
Hai đường thẳng song song với nhau.
Hai đường thẳng trùng nhau.
a) Vẽ đồ thị của hàm số sau trên cùng một mặt phẵng tọa độ:
„ 2 |Q	3"
y = — X + 2	y = - — x + 2
3	2
b) Một đường thẳng song song với trục hoành Ox, cắt trục tung Oy tại
điểm có tung độ bằng 1, cắt các đường thẳng y = |x + 2 và y - - -T X + 2
o	Zu
theo thứ tự tại hai điếm M và N. Tìm tọa độ của hai điểm M và N.
Cho hàm sô bậc nhất y = ax - 4 (1). Hãy xác định hệ số a trong
mỗi trường hợ.p sau:
Đồ thị của hàm sô (1) cắt đường thẳng y = 2x - 1 tại điêm có hoành độ bằng 2.
Đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5. ■
Giải
a) Đồ thị của hàm số y = 2x + b cắt 'trục tung tại điêm có tung
độ bằng -3, nghĩa là khi X = 0 thì y = -3, do đó -3 = 2.0 + b => b = -3.
b) Đồ thị hàm số y = 2x + b đi qua diêm (1; 5), do đó ta có;
5 = 2.1 + b => b = 3
Hàm số y = 2x + 3k có các hệ sô’ a = 2, b = 3k. Hàm số y = (2m + l)x + 2k - 3 có các hệ sô a’ = 2m + 1, b’ = 2k - 3.
Các hàm sô đã cho là hàm sô bậc nhát nên 2m + 1	0 m * - —.
Hai đường thẳng cắt nhau a a’ tức là 2 * 2m + 1 2m 1 m —
T . , ' ,	1
Kết hợp với điêu kiện trên ta có rn = ± — .
Hai đường thắng song song với nhau a - a’, b b’ tức là 2 = 2m + 1 và 3k * 2k - 3
Kết hợp với điều kiện trên ta có m k * -3.
c) Hai đường thẳng trùng nhau a = a’, b = b’ tức là 2 = 2m + 1 và
k = -3.
3k = 2k - 3
Kết hợp vứi điêu kiện trên ta có m - —,
2
a) Với hàm số y = X + 2 cho X = 0
y = 2 được A(0; 2) cho X = 3 2
y = —.3 + 2 = 4 được B(3; 4).
O
3
Với hàm sô’ y =	2 x + 2 cho X = 0
=> y = 2 dược A(0; 2).
3
Cho X = 2 => y =	2 -2 + 2 = -1 được C(2; -1).
2
Vẽ đường thang y = —X + 2 qua A(0; 2) và B(3; 4). ơ
3
Vẽ đường thẳng y = ọ x + 2 qua A(0; 2) và C(2; -1).
2 2
b) Điểm M có tung độ y = 1 nèn hoành độ là 1 = -2 X + 2 hay -AX = -1
Điểm N có tung độ y = 1 nên hoành độ là 1 -	2 x + 2 hay 2 x =
M	“I -y MH;1) v4N(l:,
a) Hai đường thẳng y - ax - 4 và y = 2x - 1 cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 do đó ta có:
2a - 4 - 2.2 - l2a = 7a = 3,5. b) Đường thẳng y = -3x + 2 đi qua điểm A có tung độ bằng 5 do đó
hoành độ của điếm A là nghiệm cúa phương trình:
5 = -3.X + 2 -3x = 3 X = -1
Ta được A(-l; 5).
Đường thẳng y - ax - 4 cũng đi qua điểm A(-l; 5) do đó ta có:
5 = a.(-l )-4-a = 9a = -9