Giải Toán 9: Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔÌ CỦA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIEN thức Cơ bần
Ba vị trí tương đô'i của đường thẳng và đường tròn
Đường thẳng và đường tròn cất nhau.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
OH < k và HA = HB - <)H2
OH = K
Định lí
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Hệ thức giữa khoảng cách từ đường tròn đến đường thẳng và bẩn kính đường tròn
Gọi d là khoảng cách từ tâm o của đường tròn (0; R) đến đường thẳng a.
Ta có bảng tóm tắt sau:
VỊ trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
2
d<R
2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
d = R
3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
0
d> R
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀi TẬP
Bài tập mẫu
Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A; 13cm).
Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điếm với đường thẳng xy.
Gọi hai giao điểm nói trên là B và c. Tính độ dài BC.
Giải
a) Kế AH ± xy. Ta có AH = 12cm, AC = 13cm nên AH < AC tức là d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau. Do đó (A) có hai giao điểm với xy.
y
b) Trong tam giác vuông AHC có:
AH = 12cm; AC = 13cm nên theo định lí Pitago: HC2 = AC2 - AH2 = 132 - 122 = 25
=> HC = 5cm
Vậy BC = 2HC = 10cm.	-
Bài tập cơ bản
Điền vào các chỗ trông (...) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
R
d
Vị trí tương đốì của đường thẳng và đường tròn
5cm
3cm
6cm
Tiếp xúc nhau...
4cm
7cm
Trên mặt phẵng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.
Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính lcm và ’ tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?
Cho đường tròn tâm o bán kính 6cm và một điểm A cách o là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Giải
17. Xét hệ thức giữa d và R ta có bảng sau:
R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
5cm
3 cm
Cắt nhau (d < R)
6cm
6cm
Tiếp xúc nhau (d = R)
4cm
7cm
Không giao nhau (d > R)
Kẻ AH 1 Ox, AK 1 Oy.
Do AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau.
Do AK - 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau.
Gọi o là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng lcm và tiếp xúc với đường thẳng xy.
Ta có R = 1, và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy nên ta có d = R, suy ra d = 1.
Tầm o cách đường thẳng xy một khoảng cố định lem nên nằm trên các đường thẳng m và m’ song song với xy và cách xy một khoảng là lcm.
Theo định lí Pitago trong tam giác vuông
Bài tập tương tự
Cho hình thang vuông ABCD (Â = D = 90°), AB = 8cm, BC = 26cm, CD = 18cm.
ầ) Tính độ dài AD.
b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.