Giải Toán 9: Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

§8. RÚT GỌN BIẾU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Cần biết vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết đế rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
B. HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
1. Rút gọn biểu thức:
b) ýl2x - 2+777 + 3748x = 722.3x - 2^3\3x + 3742.3x = 273x - 673x + 1273x = (2 - 6 + 12)73x = 873x
2. Giải phương trình:
|74? +	+|V25? = 9
Giải
Ta có: I ựĩỹ + I x. 9y + I ự25y = 9
» j-2Vỹ + -^.3Vỹ + |.5Vỹ = 9, y > 0,
 3ựỹ = 9,y>0o7y=3,y>0 y - 9, thỏa điều kiện y > 0.
Vậy s = {9}.
Bài tập cơ bản
Rút gọn các biểu thức sau:
5^1 +j 720+ 75	b) ^ + 7^5 +Mõ
720 - 745 + 37Ĩ8 + 7ỹ2	d) 0,1.7200 + 2.708 + 0,4.750
Rút gọn các biểu thức sau (vời a > 0, b > 0):
õVa - 4bV25a3 +5a7l6ab2 -279a	
5a764ab3 - 73.7l2a3b3 + 2ab79ab - 5b781a3b	_
Cho biểu thức B = 7l6x + 16 - 79x + 9 + 74x + 4 + 7x”+ 1 với X > -1.
Rút gọn biểu thức B.
Tìm X sao cho B có giá trị là 16.
Chứng minh các đẳng thức sau:
58. a) 5^1 +1720 + 75 = ^ + ^20 + 75
c) 720 - 745 + 37Ĩ8 + 772 = 74.5 - 79.5 + 3x9.2 + 736.2
- 275 - 375 + 972 + 672 = -75 + 1572
d) 0,1.7200 + 2.708 + 0,4.750 = 0,1.7100.2 + 2.
+
0,4.725/2
100
= 0,1.1072 +	+ 0,4.572
= 72 + 2.
272
+ 272 = /2 + 0,472 + 272 = 3,472
	 10 _
a) 577 - 4b725a:ì + 5ạ7l6ab2 - 279a
= 57a - 4b.5a7ã + 5a.4b7a - 2.37a = 57a — 20ab7ã + 20ab7a - 67a = -7a
b) 5a764ab3 - 73.7l2a3b3 + 2ab79ab - 5b781a:ỉb
5a.8b7ab - 73.12a3b3 + 2ab.37ab - 5b.9a7ab
40ab7ab - 736a3b3 + 6ab7ab - 45ab7ab = 40ab7ab - 6ab7ab + 6ab7ab - 45ab7ab = -5ab7ab
a) B = 7ĩẽ(x + l) - 79(x + 1) + 74(x + 1) + 7x + 1
— 47x + 1 — 37X + 1 + 27x + 1 + 7x + 1 =. 47x + 1
b) B = 16 nên 4ựx + 1 = 16 7x + 1 = 4
x + l = 16x=15 (nhận)
a) Thực hiện vế trái:
b) VT =
Vậy: I Tẽ + 2
X.T + J^ + 767 :7ẽ7
> 1 \
[ Tẽx + ì 76X + 40x 1 : To X
: 76x
= — Tẽx : Tsx =7=2^= VP, với X > 0. (đpcm) 3	3	3
3. Bài tập tương tự
1. Rút gọn:
b) 5/8x - õTẽx + 77l8x
2. Giải phương trình:
a) õTx - 3a/25x + 2\/36x = 4
b) 27l2x - 4V3x = 20 - 3>/27x
LUYỆN TẬP
Rút gọn các biểu thức sau (các bài 62 và 63): 62. a) 1748-2775
a) 1748 - 2775 -+ 5Jrj	b) VĨ5Õ +476.760 + 4,5.^1-Tẽ
c) (728 - 273 + 77)77 + 784	d) (Tẽ + 7õ)2 - 7Ĩ2Õ
63. a) 1/7- + Tab + — 7— với a > 0 và b > 0. V b	b V a
b)
4m - 8mx + 4mx2
'1-2x + x2'\	_	81
64. Chứng minh các đẳng thức sau:
<1	/7 Yi /7 32
1 —ava	[— 1 —va
với m > 0 và X 1.
a)
b)
1 - Tã
Tã
- 1 với a > 0 và a + 1.
= a với a-+ b > 0 và b + 0.
b2 V a2 + 2ab + b2
Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết
A, (	1	,	1 V 7a + l
1*1 - 7 r + _7=	7 ■ _ n /7.1 với a > 0 và a + 1.
<a-ya Va-lJ a -2ya+1
	 , 1 1
Giá trị của biểu thức 9 + ựg + 2 - 73 bang
A. I	B. 1	c. -4	D. 4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Giải
62. a) ị 748 - 2775 - 4= + 5.0 = ỉ 7Ĩ6Ĩ3 - 2725^3 -	+ 5./Ĩ4
2	7ĨĨ V 3	2	7ĨĨ V 3.3
= 173 - 2.573 - 73 + ^ 73 2	3
= 2V3 - 10V3 - 73 - 7 73
= -973+773 =(-9 + 7Ì73 = -773 3	\	3 )	3
./õõ + 4.5. 2,- -7Õ =
b) 7Ĩ5Õ + TTẽ.Tẽõ + 4,5. 2.| - Tẽ = V 75
= 7254) + 71,6.60 + 4,5(1 - Tẽ V O
= 5Tẽ + TĨ6Ĩ6+4,5.ị, 32.^-Tẽ 3V 3
= õTẽ+ 4Tẽ + 4,5.f Tẽ' -Vẽ 3
= 9T6 + 3Tẽ - Tẽ = i 1 Tẽ
(T28 - 2T3 + T7)T7 + T84 = (T4/7 - 2T3 + T74T7 + TT21 = (2T7 - 2T3 + T7)T7 + 2T2Ĩ = (3T7 - 2T3)T7 + 2T2Ĩ
= 3.7 - 2T2I + 2T2Ĩ = 21
(Tẽ + TõT- TĨ2Õ = (Tẽ)2 + 2T6.T5 + (T5)2 - Tt30 =_6 + 2T3Õ + 5 - 2T30 = 11
a ib
a.b r-j- a ab
= vT7 + ^ab + uO V b	b V a
= Ậ\/ab + Tab + ——Tab = 1^ + 1 + i^Tab b	b.a	^b by
í m
4m - 8mx + 4mx2
m
/1 - 2x + X2 V
81	"" V
(l-tf'V
T!+’>
b)
4m(l - 2x + X2)
m
4m(l - x)2 _ Í4m2 _ T4m2 _ 2m “V 81 “ Tãĩ “V
81
V(l-x)2'	81
(với m > 0 và X 1) 64. a) Thực hiện vế trái:
1 - aTã 1 - Tã
Tã
A/1-TP2
1-aTã+Tã-l (1-Tã)2
= (1 - aTã + Tã - a) a
1 - Tã
(1 - a)2
(1-a).2
1 - aTã + Tã - a - Tã + a.(Va)2 - (Tã)2 + aTã
b) VT =
(1 - a)2
a2 - 2a + 1	(a-1)2 fa-iy
(1-a)2	"(1-a)2
a + b
= (-1)2 = 1 = VP (đpcm)
b2
a2b4
a2 + 2ab + b2
a + b (ab )
(a + b)2
a + b ab a + b b2 |a|	. ,
=	, Ki - ,2 • “Tu = a = VP (đpcm)
b |a + b|	b	a + b
(vì a + b > 0 nên |a + b| = a + b, b2 > 0)
<a
T^
Tã + 1 Tã - 1 + a - Tã Tã + 1
a - 2\fã + 1 = (a - Tã)(Tã - 1) " (Tã - l)2
	 (Tã-l)2 _	(Tã)2 -1 _ (Tã-l)2
(a-7ã)(7ã-l) Tã + 1 _ (a - 7ã)(7ã - 1) Ta + 1 (a - 7ã)(7ã + l)(7a - l)2 _ (Ta - l)2
Như vậy giá trị cần chọn không nhỏ hơn 2.
Vậy chọn D.
1	,	1	2-73 + 2 + 72
CócA khác:	+ 775 - (2 + 331(2-33)
4 771,4
4-(Vã)	4-3