Giải Toán 9: Bài 5. Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

§5. CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN IÌỈỨC Cơ BẢN
Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chúng với đường tròn ấy.
Các dâ'u hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lí 1: Tính chất của tiếp tuyến.
Nếu một dường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Định lí 2: (Dấu hiệu nhận biết)
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điếm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp điểm của đường tròn.
B. IIƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cát nhau tại I. Chứng minh:
Đường tròn đường kính AI đi qua K.
HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
11 1
Giải
Gọi o là trung điểm cúa AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm o đường kính AI đi qua K.
Ta có z\AOK cân.
=> ẤKÕ = ÓÂK
Ta có: OAK = HBK (cùng phụ vớiC)
Ta lại có HK = HB nên HBK = HKB Suy ra OKA - ÕÃK = HBK = HKB mà OKA + ĨÓK = IKA = 90° (gt) nên HKB + ÍÓK = OKH = 90°
Do đó OKI HK.
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài ỉập cơ bản
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
Đố. Dây cua-roa trên hình 76 có những / phần là tiếp tuyến của các đường tròn I tâm A, B, c. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm c (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
Giải
Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 BC2 = 52 = 25 Nên AB2 + AC2 = BC2.
Suy ra tam giác ABC vuông tại A hay AC 1 BA.
Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Đuờng tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp
tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm o của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.	đ"
Lại có (O) qua B nên tâm o của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.
Vậy tâm o là giao điểm của đường vuông góc với d tại A và đường trung trực của AB.
Theo hình vẽ, chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm c theo chiều quay của kim đồng hồ:
Bài tập tương tự
Cho nửa đường tròn tâm o, đường kính AB = 2R. Kẻ các tia tiếp tuyến Ax và By trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn nói trên. Trên Ax và By lấy theo thứ tự hai điểm c và D sao chó CD = AC + BD.
Chứng minh: a.) Góc COD = 90° •
Đường tròn qua ba điểm c, o, D tiếp xúc với AB tại o.
LUYỆN TẬP
Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua 0 kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm c.
al Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ
dài oc.
Cho đường tròn tâm o có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điếm M của OA.
Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Giải
c
a) Gọi H là giao điểm của oc và AB, AAOB cân tại 0 (OA = OB, bán kính). AH là đường cao nên cũng là đường phân giác ta được
ô, =Ô2-
Hai tam giác OBC và OAC có OB = oc (bán kính) Os = Oi
oc cạnh chung.
nên AOBC = AOAC (c.g.c)
Suy ra OBC = OAC = 90°.
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
AB
b) Ta có AH =	= 12cm - (đường kính vuông góc với một dây)
Trong tam giác vuông OAH.
OH = 7oA2 - AH2. = 7l52 - 122 = Tẽĩ - 9 (cm)
Tam giác OAB vuông tại A, đường cao AH nên OA2 = OH.OC => 152 = 9.OC => oc = 225 : 9 = 25 (cm)
a) Bán kính OA vuông góc với BC nên MB = MC.
Và có MO = MA (gt)
Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lại có OA ± BC nên OBAC là hình thoi, b) Ta có: OA = OB (bán kính)
OB = BA (tính chất hình thoi)
Nên OA = OB = BA => AAOB đều có AOB = 60°.
Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:
BE = OB.tg60° - R.73