Giải Toán 9: Ôn tập chương I

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu hỏi
Nêu điều kiện để X là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.
Chứng minh Vã2” = |a| với mọi số a.
Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì đế’ TÃ xác định?
Phát biểu và chứng minh địnhỊí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khại phương. Cho ví dụ.
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Trả lời
Để X là căn bậc hai sô học của sô a không âm là X > 0 và X2 = a.
Ví dụ: 2 là căn bậc hai số học của 4 vì 2 > 0 và 22 - 4.
Ta xét hai trường hợp:
Nếu a > 0 => jaj = a nên |a|2 = a2.
Nếu a |a| = -a nên |a|2 = (-a)2 = a2.
Trong cả hai trường hợp ta đều có (|a|)2 = a2 (1)
Mặt khác |a| > 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra |a| chính là căn bậc hai số học của X2 hay TẼr - |a|.
TÃ xác định khi A > 0 hay nói cách khác: điều kiện xác định của căn bậc hai là biếu thức lấy căn không âm.
Định lí: Nếu a > 0 và b > 0 thì Tab = Tã.Vb Chứng minh:
Vì a > 0, b >0 => abj> 0, dọ đó Tã, Tb, Tab đều xác định.
Ta có: (Tã.Tb)2 = (Tã)2.(Tb)2 = ab Do Tã > 0, Tb > 0 => Tã.Tb > 0
Vậy Tã.Tb là căn bậc hai số học của tích a.b: Tab = Tã.Tb Ví dụ:	T25.8I = T25J8I = 5.9 = 45
5. Định lí: Nếi
Chứng minh:
Do a > 0 và b > 0 nên ựb được xác định.
Vã - _ (Vã)2 _ a , Vb J - (Vb)2 “ b
Mặc khác Vã > 0, Vb > 0 nên > 0 /- 7b
„	 Va	
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a > 0, b > 0.
f36“
Vl dụ:	V100
VĨ62
Vb
^36
là căn bậc hai số học của , V bay Jr -
V|
Vb’
V2
100
= V- - 0,6 10
= Vãĩ = 9
BÀI TẬP
70. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
25 16 196 a) v8l’49	9
64O.V34,3
b)
3*2 ỉt .2|i 16	25	81
c)
/567
d) V21,6.V8ĨÕ.Vll2 -52
71. Rút gọn các biểu thức sau: a) (Vs - 3.V2 + VĨÕ)V2 - Võ
b) 0,2V(-10)2.3 + 2V(V3 - V5)2
. 1	 r——	-
, : 8 d) sV(V2 - 3)2 + V2T-3)2 - 5J(-1 J
Phân tích thành nhân tử (với các số X, y, a, b không âm và a > b).
a) xy - y Vx + Vx - 1	b) Vãx - Vby + Vbx - ựaỹ
c) Va + b + Va2 - b2	d) 12-Vx-x
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
'v^õã - V9 + 12a + 4a2 tại a = -9
, , . 3m I 2 1	~7
1 +' vm - 4m + 4 tại m = 1,5
m - 2	
Vl - 10a + 25a2 - 4a tại a = V2 đ) 4x — Vỡx2 + 6x 4- 1 tại X = — V3
Tìm X, biết;
a) 7(27^7 = 3	b) I VĨ5x - V15V -2 = 1 VĨ5x
Chứng minh các đẳng thức sau:
c)
r-Jr -r-V2 + -.V200
2V2 2
2x/3-<6	7216
\ x/s — 2	3 y V
? 14 - 77	715 - 75
1-72	■	1-73
\6
-1,5
1
a)
b)
c)
d)
= -2
-7T
x/a -1
a + Va
\ Ta +1 y 76. Cho biếu thức Q =
a	b
7a2 - b2 > a - 7a2 - b2
- với a > b > 0.
7si'749‘ 79 5.4.14	5.4.2	40
27
x/97 ' x/72 ' x/37	9.7.3	9.3
64.49.7
81.7
V X	X v<x y x/7-75
aTb + bx/ã	1	•	,
-/==	■ —/=	7= - a - b với a, b dương và a * b.
x/ab	x/a - x/b
f-\ <	'"4
= 1 - a v(ji a > 0 va a Ị 1.
7a2 - b2
Rút gọn Q.
Xác định giá trị của Q khi a = 3b.
Giải
70-a) \81 49
/25 16 196 _ /25 /76 /Ĩ96 _ 725 Tĩẽ 7Ĩ96 18'V49_'V 9
F 7?
97‘772
b) J3^.2i|.2|i=
'' 16	25	81 V16 25 81
/49 /64 /196 _ 749 x64 Tĩõẽ = V16"V25_'V 81 _ xĩẽ ' x/25 ‘ Tsi
Tt7 Tẽ7 7Ĩ47 _ 7.8.14 _ 7.4.7 _ 196 = TF'TF'H7”^ 4.5.9 ■ 5.9 ■ 45
c)
7640-734,3 _ 7640.34,3 _ /64.343 7567	_	7567	_ \ 567
64.49 _ 8.7 _ 56 81	" 9 " 9
721,6.7810.711- - 52 = 721,6.810.7(11-51(11 + 5)
= 7216.81. x-ẽTĨ 6 = x/TĩẽTẽn 6 = 71296.806 = 7362.92.42 = 7(36.9.4)- = 1296
a) (78 - 372 + 710)72 - x’5 = (x'^ -_3\ 2 + x/l0)72 - x/5
= (272 - 372 + 710)72 - 75 = 2.(72)2 - 3.(72)'-' + x 10.x 2 - 75 = 4 - 6 + 720 - 75 = -2 + x'4?5 - X 0 = -2 + 2x'5 - = -2 + To
b) 0,27(-10)2.3 + 27(x/3 -75 )2 =
= 0,2x/l02.3 + 2y/(V3 - ựõỹ7 = 0,2.10.73 + 2|7s - 7õ| = 273 + 2(75 - 73) = 273 + 275 - 273 = 275
= 27.2, 22.ị = 5472
d) 27(72-37 + 72(-3)2 - õ7(-l)4 =
■ = 2|72-3| +372-571 = 2(3-72)+ 372-5
= 6 - 272 + 372. - 5 = 1 + 72
a) xy - yTx + 7x - 1 = (7x)2.y - yTx + 7x - 1
.= y7x(7x - 1) + 7x - 1 = (7x - lXyTx + 1) với X > 0
Tax - Tby + Tbx - Tãỹ = Tax + Tbx - 7ay - ựbỹ
= 7x(7a + 7b) - ựỹ(7ã + 7b) = (Ta + 7b)(7x - ựỹ)
với X, y, a và b đều không âm.
7a + b + 7a2 - b“ = 7a + b + 7(a - b)(a + b)
= 7a + b + 7a - b.7a + b = 7a + b(l + 7a - b) với a + b, a - b đều không âm.
12 - 7x - X = 16 - X - 4 - 7x = [42 - (7x)2] - (4 + 7x)
= (4 - 7x)(4 + 7x) - (4 + 7x)
= (4 - 77)(4-7x-1) = (4 + 7^X3 - 7Ĩ)
a) ự 9 a - 79 + 12a + 4a7 = 732.(-a) - 732 +2.3.2a + (2a)2
= 3V-a - 7(3 + 2a)2 = 37a - }3 + 2a| tại a = -9 ta được:
= 37-(-9) -13 + 2(-9)| = 37? -13 - 18| •
= 3.3 - 1-151 = 9 - 15 = -6
, . -I ,	3 m /i?2—7Z7 ,' .
b) 1 + ——— vm - 4m + 4
m — 2
= 1 + -	7m2 - 2.2m + 22
m- 2
. 3m /7T bl? . 3m ,
= 1 + —V(m - 2) = 1 +	" m - 2
m - 2	m - 2
tại m - 1,5 ta được:
.115,	4.5
1+	• ’ --|1,5-2| = 1 + 477.0,5 = 1-4,5 = -3,5
1,5-2	1	-0,5
/l - 10a + 25a2 - 4a = 7l - 2.5a + (5a)2 - 4a = 7(1 - 5a)2 - 4a = |l - 5a| - 4a
tại a = 72 ta được:
= |l - 5/2J - 472 = (572 -1) - 472 = 72-1
4x - Tỡx'2 + 6x +1 = 4x - 7(3x)2 + 2.3x + 1'
= 4x - 7(3x + l)2 = 4x - |3x + 1|
tại X = -73 ta dược:
4(-73) - |3(-73) +1| = -473 - -373 + l|
= -473 - (373 -1) = -773 + 1
a) 7(2x - l)2 = 3 |2x - 1| = 3
... ' 1 . „
Nếu X > I thì 2x - 1 = 3 2x = 4
 X = 2 (thỏa)
... 1 '
Nếu x -2x + 1 = 3
 -2x = 2 X = -1. (thỏa)
Vậy phương trình có hai nghiệm: X = 2, X = -1
5 I	 I	1 /	
7” \T5x - 7l5x -2 = 7 7l5x (điều kiện X > 0)
o	O
 7 7l5x - 7l5x - 7 7l5x = 2 3	3
1
 77l5x = 2 o Ợl5x = 6
« 15x = 36«x = ff = ^ = 2 15	5	5
75. a) TV =
273-76	7216 1 1
<78-2
3 J
Tẽ’
742-2
-76
676
ì r
2
3
/76
-1)
-276
1
1)
7
Tẽ
9
/2r3-7ẽ Tlẽĩẽ
76(72-1)
< 2(72-1)
-376	1	3 _ 1	_
2 'Ế 2	’5 = VPíđpcm)
1
Tẽ
b) TV =
TŨ-TỸ 715-75	1
1-72	1-73	77-75
77.72 - 77 . 75.73-TiT
1-72
1-73
77(72-1) + 75(73-1)'
: 77-75 .(77 - 75)
c) TV =
^1-72	’	1-73.
= F-77 - 75)(77 - 75) = -(77 + 75)(77 - 75)
= -(7 - 5) = -2 = VP (dpcm)
aTb + bTã 1	_ Ta^.Tb + 7b2.Ta	1
Ta - 7b	Tab	Ta - 7b
.(Ta - 7b) = (Ta + 7b)(7a - Vb)
Tab 7ab(7a + 7b)
ab
= a - b = VP (đpcm)
d) TV =
Ta
V.
\l~a + 1 y
7ã(7ã +1)
Ta + 1
a - Ta Ta - 1
1-
a(7a-l) Tã -1
= 1 - (Ta)2 = 1 - a = VP (dpcm)
7<v + 7a
Ta + 1
Ta -1
= (l + 7ã)(l-7ã)
76. a)Q =
b
TT^b2
<	7a2 - b2 J ’ a - 7a2 - b2
_ a _ a + 7a2 - b2 a - 7a2 - b2 “ 7a2-b2	7a2-b2	b“
a a2-(7a2-b2)2
7a2 - b2 b.7a2 - b2 a a2 - (a2 - b2)
7a2 - b2	b.Ta2 - b2
a	b2 _	a	b
7a2 - b2 b.7a2 - b2 7a2 - b2 7a2 - b2 • a - b _ yj(a - b)2	_ 7a - b
- 7a.2 - b2	7(a - b)(a + b) _ 7a + b
b) Thay a = 3b vào ta được:
73b+ b 74b
73b-b _ 72b _ (2b _ (T _ 7f