Giải Toán 9: Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn

§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC Cơ BẲN
So sánh độ dài của đường kính và dây
Địnli li 1
Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lí 2
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
AB 1 CD tại I => IC = ID
Định lí 3
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD.
Chứng minh rằng: CE = DF
Giải
Dựng OI 1 CD => IC = ID (1) (định lí 1)
Ta có: AE // BF => ABFE là một hình thang.
Ta lại có o là trung điểm AB mà OI song song với hai đáy hình thang ABFE nên I là trung điểm EF.
=> IE = IF (2)
Trừ (2) cho (1) vế theo vế, ta có: IE - IC = IF - ID o CE = DF
Vậy: CE = DF
Bài tập cơ bản
Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
Bốn điểm B, E, D, c cùng thuộc một đường tròn.
DE < BC.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc vớỉ CD.
Giải
a) Gọi M là trung điếm của BC. Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên EM = — BC.
Tương tự tam giác vuông BDC co'
DM-ỈBC.
2
Suy ra ME = MB = MC = MD. Do đó bốn điểm B, E, D, c cùng thuộc đường tròn tâm M.
b) Trong đường tròn tâm M nói trên, ta có DE là dây, BC là đường kính nên DE < BC.
{Chú ý: Không xảy ra trường hợp DE = BC).
Kẻ OM 1 CD.
Nên: MC = MD	(2)	
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK.
Bài tập tương tự
Cho nửa đường tròn tâm o đường kính AB. Trên AB lấy hai điếm c và D sao cho oc = OD. Từ c và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn (O) tại E và F.
Chứng minh EF vuông góc với CE và DF.
Gọi I là trung điểm của EF. Biết CE = 3cm, DF = 2cm. Tính OI.