Giải Toán 9: Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

§6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CAT NHAU
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định lí
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điếm đó cách đệu hai tiếp điếm.
Tia kẻ từ điếm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điếm.
GT
(O; R) AB, AC là tiếp tuyến
AB = AC
KL
X =Ầ2
ổ! = Ô2
Đường tròn nội tiếp tam giác
góc trong của tam giác
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tâm cùa đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điếm, hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác. Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
B. HƯỚNG DẪN giai bài tập
Bài tập mẫu
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên (O). Các tiếp tuyến tại A, B của (O) gặp nhau tại M.
Đường vuông góc với OA tại o gặp MB tại c. Chứng minh rằng CM = co.
Giải
MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên MA ± OA. Ta có: oc 1 OA Suy ra: MA // oc Do đó Ml = Ôi (s° le trong)
Nhưng Ml = Ma (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> Oi = Ma => ACMO cân tại c Vậy CM = CO.
Bài tập cơ bản
Chó đường tròn (O), diêm A nằm bên ngoài đường tròn. Kế các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm).
Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB - 2cm, OA = 4cm.
Từ một điếm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Giải
a) Ta có AB = BC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên AABC cân tại A.
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO 1 BC. b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Suy ra BH = HC (đường
kính vuông góc với một dây).
Tam giác CBD co CH = HB, CO = OD (bán kính) nên BD // HO (HO là đường trung bình của ABCD). Do đó BD // AO.
Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC có
oc2 = 42 - 22 = 12 2V3 (cm)
ị => ÕÃC = 30°
2
AC2 = OA2
AC = 712
. _ oc _ 2 và sin OAC = —— = — OA 4
Do đó BAG = 2OAC = 60"
Tam giác ABC cân có A = 60" nên là tam giác đều.
A
Do đó AB = BC = CA = 2ự3 (cm)
Theo tính chát hai tiếp tuyến cắt nhau ta có DẠI = DB, EM = EC, AB = AC.
Chu vi tam giác ADE bằng AD + DE + AE =
AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB
Gọi o là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
xAO = yẤỒ
Hay AO là tia phân giác của xAy. Vậy tâm o các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm -trên tia phân giác của xAy •
Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm o của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Lại có (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm o nằm trên đường thẳng vuông góc với Ax tại B.
. Vậy tâm o của (O) là giao điểm của tia phân giác của góc xAy và đường vuông góc tới tia Ax tại B.
Bài tập tương tự
Từ một điếm A ngoài đường tròn o, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Chứng minh rằng:
AB = AC
AO là phân giác của BAC và OA là phân giác của BOC •
AO là trung trực của BC.
LUYỆN TẬP
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phằng bờ AB). Qua điếm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ờ c và D. Chứng minh rằng:
COD = 90"
CD = AC + BD
Tích AC.BD không đối khi điểm M di chuyến trên nửa đường tròn.
Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn (O).
Chứng minh rằng:
2AD = AB + AC - BC
Tìm các hệ thức tường tự như hệ thức ớ câu a).
Cho tam giác đều'ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính lcm. Diện tích cúa tam giác ABC bằng:
A. 6cm2	•	B.
D.
373
73 cm2 3\/3 cm2
c. cm
4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Giải
a) Theo'tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có oc là tia phân giác của ÃÕM , OD và tia phân giác của BOM.
oc và OD là các tia phân giác cúa hai góc kề bù ÃÕM và BOM nên oc 1 OD. Vậy cõb = 90° • b) Theo tính chất của hai tiêp tuyến cắt nhau
ta có CM = AC, DM = BC.
Hình 82
Do. đó CD = CM + DM = AC + BD
c) Ta CÓ AC = CM, BD = DM nên AC.BD = CM.MD
Tam giác COD vuông tại o, có:
CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính đường tròn 0)
Vậy AC.BD = R2 (không đổi)
a) Theo tính chất cúa hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BD = BE, CE = CF, AD = AF
Ta có: AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + FC) - (BE + EC) = (AD + AF) + (DB - BE) + (FC - EO = AD + AF = 2AD
Vậy 2AD = AB + AC - BC b) Tương tự ta tìm được các hệ thức
2BE = BA + BC - Ấc •
2CF = CA + CB - AB
HC = AH.tg30" = 3.-4 = 73 (cm) /
x3	B li (
SAB(, =|bc.ah = hc.ah
= x/3.3 - 3\Ỉ3 (em') Vì thế câu trả lời D là đúng.