Giải Toán 9: Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Khái niệm tỉ sô' lượng giác của một góc nhọn
Xét góc nhọn B của tam giác vuông ABC (hình bên)
AB được gọi là cạnh kề cúa góc B.
AC được gọi là cạnh đói cúa góc B.
Định nghĩa:
cạnh đồi	cạnh kề
sin a = — 	7—; cosot =	7— 	7—
cạnh huyền	cạnh huyên
cạnh đối	,	cạnh kề
tga =	, .	; cotga = —————
cạnh kể	cặnh đôi
Tỉ sô lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí: Nêu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotg góc kia.
'	„	 .	/ợ.	Ịìx
Nếu a + p - 90° thì:	g	Q
since = cosfk cosa = sinp tga = cotgp, cotga = tgP
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC vuông tại A có B = (X. Hãy tính tỉ số lượng giác của góc B trong các trường hợp:
cc = 30°	b) a - 45°
Giải
a) Với a =	30°, tam giác ABC là nửa tam giác đều cạnh
a (đường cao trong tam giác đều cạnh a).
a-
đó AC = 77, AB 2
2
sin30° = ^ = ^ = 1 BC a 2
aV3
AB 9 Vs
cos30° =
BC a a
tg30’ = AC-V 1 A AB aV3 V3 3
cot g30° ■=
AB
AC
'a Tã 2 =73
a. Khi
Nên
Nên
Với a = 45°, ABC là tarn giác vuông cân, cạnh góc vuông a, cạnh huyền aV2.
_,c0 AC _ a 1 V2 sin45 = 77— = —7= = —= = ——
BC aV2 V2 2
cos45° =
AB a Vi BC “ aV2 “ 2
tg45o=4^-- = l
AB a
, .r-0 _ AB a
cotg45 =	= — = 1
AC a
2. Bài tập cơ bản
Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34° rồi viết các tỉ số
lượng giác của góc 34°.
Cho tam giác ABC vuông tại c, trong đó AC = 0,9m, BC = lT2m.
Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng
giác của góc A.
Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các
góc nhỏ hơn 45°:
sin60°, cos75°, sin52°30’, cotg82°, tg80°
Giải
10. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn hằng 34°, chẳng hạn tam giác .vuông OPQ với o = 90°, p = 34° (hình bển), khi đó OQ
PQ ;
OP
sin 34° = sin p =
OP
COS34° = cosP = 7777; tg34° = tgP = -7777; cotg34° = cotgP = 7777 PO s	e OP 5	6 no
PQ
OP
OQ
Vây:
11. Ta có: AC = 0,90m = 9dm; BC = l,20m - 12dm Theo định lí Pitago, ta có:
,A
Vì A,và B là hai góc phụ nhau nên:
sinA = cosB = —; COS A = sin B = — 5	5
„4	3
tgA = cot gB = Ỷ; cot gA = tgB = j
Vì 60° + 30° = 90° nên sin60° = cos30°
Vì 75° + 15° = 90° nên cos75° = sinl5°
Vì 52°30’ + 37°30’ = 90° nên sin52°30’ = cos37°30’
Vì 82° + 8° = 90° nên cotg82° = tg8°
Vì 80° + 10° = 90° nên tg80° = cotglO0
B. BÀI TẬP TƯƠNG Tự
Tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 16cm, AC = 3cm. Tính các ti sô lượng giác của các góc nhọn.
Biến đối các tỉ sô lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45°.
sin60°, cos75°, cos80°, sin52°30’, cotg76'
LUYỆN TẬP
Dựng góc nhọn a, biết:
b) cosot = 0,6
d)cotga = —
Á . 2
sinot = —
3
tga = — 4
Sử dụng định nghĩa các tỉ sô lượng giác cua một góc nhọn đê chứng minh rằng: Với góc nhọn u tùy ý,' ta CQ
sinư J cosa
tga =	, cotgíx = —	, tgot.cotgư. = 1
cosơ.	sincx.
sin2a + cos2a - 1
Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago.
20 21 Hình 23
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc c.
Gợi ý: Sử dụng bải tập 14.
Cho tam giác vuông có một góc 60° và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60°.
Tìm X trong hình 10.
Giải
13. a) (hình a) Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Oy, lấy
điếm M sao cho OM = 2cm. Lấy M làm tâm, M
vẽ cung tròn bán kính 3cm sao cho cung tròn
này cắt tia Ox tại N. Khi đó ONM = a.
.	OM 2
Thật vậy: sin a = sin ONM =	= -=•
MN 3
(hình b) Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm p sao cho OP = 3cm. Lấy p làm tâm, vẽ cung tròn bán kính 5cm sao cho cung này cắt tia Oy tại Q. Khi đó ỌPQ = a.
OP 3
Thật vậy cosa = cosOPQ = —— =	= 0,6
OQ 5
(hình c) Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 4cm. Trên tia Oy lấy diêm B o sao cho OB = 3cm. Khi đó OAB = a.
Thật vậy tga = tgOAB = —— = —
OA 4
(hình d) Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm c sao cho oc = 3cm. Trên tia Oy lấy D sao cho OD = 2cm. Khi đó OCD = a.
SO
14. Dựng góc nhọn xOy = a tùy ý. Trên tia Ox lấy điểm B bất kì, kẻ BA 1 Ox (Ae Ox)
AB
sina - cosa =
OB
AB
cosa
cosa
sina
OA
OB
OA
OB
AB
2B_ AB OA
-X
_ tga.cotga = 77-.-7^7 = 1 (đpcm)
b) Theo định lý pytago, trong tam giác	vuông OAB, có OB2 = OA2	+ AB2.
„ 2 _ AB2 , OA2	AB2 +CA2	OB2	,	.
Ta có: sin	a + COS a = 7—- + —3-	=	——	= ——	=	1	(đpcm)
OB2 OB2	OB2	OB2
15. Ta CÓ B + c = 90° nên sinC = cosB = 0,8.
Từ công thức sin2C + cos2C = 1 ta suy ra cosC = a/i - sin2 c
Nên cosC = Vl - 0,82 - ựl - 0,64 = Jo, 36 =0,6
(vi cosC > 0)
T .	, . _	sinC	0,8	4
cosC	0,6	3
„ cosC 0,6
cotgC = ——J- = -JJ- = 0,75
sinC 0,8
„4	At
Vậy sinC = 0,8; cosC = 0,6; tgC = —; cotgC = 0,75
3
Gọi cạnh đốì diện với góc 60° của tam giác là X. Ta có:
sin60° = suy ra X = 8sin60° = 8.^- = 4J3 = 6,928
8 2
Kí hiệu như hình bên.
Ta có tam giác ABH là vuông cân
(vì B = 45°) nen AH = 20.
Theo định lí Pitago, trong tam giác
vuông AHC có
X2 = AH2 + HC2 = 202 + 212
= 400 + 441
=> X = V841 = 29