Giải toán 10 Bài 1. Bất đẳng thức
§1. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề “a c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a c < d. 2. Tính chất của bất đẳng thức Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung aa + c<b + c Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số c > 0 a ac < bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c < 0 a ac > bc aa + c<b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a > 0, c > 0 a ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều n nguyên dương a a2n+1 < b2n +1 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa 0 a2n < b2n a > 0 a Tã < Tb Khai căn hai vế của một bất đẳng thức a Tã < Tb Bất đẳng thức Cô-si Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Tab0 2 Đẳng thức Tab = xảy ra khi và chỉ khi a = b. Hệ quả 2: Nếu X, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi X = y. Hệ quả 3: Nếu X, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng X + y nhỏ nhất khi và chỉ khi X = y. 4. Bất đẳng thức chứa dâ'u giá trị tuyệt đôi Điều kiện Nội dung Ixl > 0, Ixl > X, Ixl > -X a > 0 Ixl -a < X < a Ixl > a X a lal - Ibl < la + bl < lal + Ibl B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của X? 8x > 4x; b) 4x > 8x; c)8x2>4x2; d) 8 + X > 4 + X. ố^lải Sai với X 0; Sai khi X = 0; d) Đúng với mọi giá trị của X. Cho sô’ X > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất? A = 3 ; B = 3 + 1; c = |-1; D = | X X X 5 1 0, B > 0 và D > 0 nên c 5 Với X > 5 ta có — < 1 do đó X nhỏ nhất. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh (b - c)2 < a2; b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca). ốịiảl a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên I b - c I (b - c)2 < a2 Từ b + c > a suy ra a(b + c) > a2 hay ab + ac > a2 (1) Tương tự: bc + ba > b2 (2) ca + cb > c2 (3) Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta có: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Chứng minh rằng: x3+ y3 > x2y + xy2, Vx > 0, Vy > 0. (yỊiải Xét hiệu: (x3 + y3) - (x2y + xy2) = (x + y)(x2 - xy + y2) - xy(x + y) = (x + y)(x2 - 2xy + y2) = (x + y)(x - y)2 > 0, Vx > 0, Vy > 0 Do đó: X3 + y3 > x2y + xy2, Vx > 0, Vy > 0 Đẳng thức chỉ xảy ra khi X = y > 0. Chứng minh rằng: X4 - Vx* + x - Vx +1 > 0,Vx > 0 . Hướng dẫn: Đặt Vx = t , xét hai trường hợp 0 1. ỐịiÀl Đặt 7x = t (t > 0) thì X4 - Tx3" + x- 7x+l = t8-t3+t2-t + l Khi 0 0 Khi X > 1 thì t > 1 và t8 - t5 + t2 - t + 1 = t5(t3 - 1) + t(t - 1) + 1 > 0 Vậy X4 - Tx3" + X - 7x + 1 > 0, Vx > 0. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm o bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. tfhii Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: Ta có: HA.HB = OH2 = 1 (không đổi) AB = HA + HB >-2 x/HA.HB = 2 => AB > 2 Dấu "=" xảy ra, tức AB = 2 HA = HB o AOAB vuông cân ở 0 các tam giác OHB và OHA vuông cân, có cạnh góc vuông bằng 1 OA = OB = 72 . Vậy đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi A( 72 ; 0) và B(0; 72 ). c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. a) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca Cho 3 sô' a, b, c thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: - 2 - ab + bc + ca < 1 Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 > a(b + c + d + e). •Hướng ìân: a) Nhân 2 vế cho 2 biến đổi về dạng: (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 > 0 Áp dụng câu a) và hằng đẳng thức: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Nhân 2 vế cho 4 biến đổi về dạng: (2a - b)2 + (2a - c)2 + (2a - d)2 + (2a - e)2 > 0 2. a) Cho a > b > 0. Chứng minh: a + b(a - b)' ->3 b) Cho a > 1. Chứng minh: Va-1 < I -Hướng ỉẫn: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 sô': a - b, b, ——!—— b(a - b) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số: 1 và a - 1. 3. a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác có chu vi là 2p. Chứng minh rằng: > a b c „ a) - i -—I—— > 3; b+c-a a+c-b a+b-c b) —-— + —4- + —— >21— + 7- + - p-a p-b p-c va b c, -Hướng ìẫn: a) Đặt x = b + c-a;y = a + c-b;z = a + b- c(x, y, z > 0) Ti.-i' 3Í- 1 .»-1 íí .. X + y z + X y + z „ Biến đôi vể bất đắng thức: + —— + —— > 6 IX*. I - 1> 11 4 b) Ap dụng bất đẳng thức: — + — > —-— (x, y > 0) X y X + y a) Cho y = 2x(1 - 3x) với 0 < X < . Tìm giá trị lớn nhất của y. 3 b) Cho y - 2x + —í (x > 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. ĩ>áp sô': a) max y = 77 khi X = ; 6 6 b) min y = 2( V2 +1) khi X = 1 + -Ậr v2