Giải toán 10 Bài 1. Bất đẳng thức

  • Bài 1. Bất đẳng thức trang 1
  • Bài 1. Bất đẳng thức trang 2
  • Bài 1. Bất đẳng thức trang 3
  • Bài 1. Bất đẳng thức trang 4
§1. BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề “a c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất
đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a c < d. 2. Tính chất của bất đẳng thức
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện
Nội dung
aa + c<b + c
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số
c > 0
a ac < bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số
c < 0
a ac > bc
aa + c<b + d
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a > 0, c > 0
a ac < bd
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
n nguyên dương
a a2n+1 < b2n +1
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa
0 a2n < b2n
a > 0
a Tã < Tb
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
a Tã < Tb
Bất đẳng thức Cô-si
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
Tab0 2
Đẳng thức Tab = xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả 2: Nếu X, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi X = y.
Hệ quả 3: Nếu X, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng X + y nhỏ nhất khi và chỉ khi X = y.
4. Bất đẳng thức chứa dâ'u giá trị tuyệt đôi
Điều kiện
Nội dung
Ixl > 0, Ixl > X, Ixl > -X
a > 0
Ixl -a < X < a
Ixl > a X a
lal - Ibl < la + bl < lal + Ibl
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của X?
8x > 4x;	b) 4x > 8x;	c)8x2>4x2;	d) 8 + X > 4 + X.
ố^lải
Sai với X 0;
Sai khi X = 0;	d) Đúng với mọi giá trị của X.
Cho sô’ X > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
A = 3 ; B = 3 + 1; c = |-1; D = |
X	X	X	5
1 0, B > 0 và D > 0 nên c
5
Với X > 5 ta có — < 1 do đó X
nhỏ nhất.
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh (b - c)2 < a2;	b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca).
ốịiảl
a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên I b - c I (b - c)2 < a2
Từ b + c > a suy ra a(b + c) > a2 hay ab + ac > a2 (1)
Tương tự: bc + ba > b2 (2)
ca + cb > c2 (3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta có: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2
Chứng minh rằng: x3+ y3 > x2y + xy2, Vx > 0, Vy > 0.
(yỊiải
Xét hiệu: (x3 + y3) - (x2y + xy2) = (x + y)(x2 - xy + y2) - xy(x + y)
= (x + y)(x2 - 2xy + y2) = (x + y)(x - y)2 > 0, Vx > 0, Vy > 0
Do đó: X3 + y3 > x2y + xy2, Vx > 0, Vy > 0 Đẳng thức chỉ xảy ra khi X = y > 0.
Chứng minh rằng: X4 - Vx* + x - Vx +1 > 0,Vx > 0 .
Hướng dẫn: Đặt Vx = t , xét hai trường hợp 0 1.
ỐịiÀl
Đặt 7x = t (t > 0) thì X4 - Tx3" + x- 7x+l = t8-t3+t2-t + l
Khi 0 0
Khi X > 1 thì t > 1 và t8 - t5 + t2 - t + 1 = t5(t3 - 1) + t(t - 1) + 1 > 0
Vậy X4 - Tx3" + X - 7x + 1 > 0, Vx > 0.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm o bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
tfhii
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
Ta có:
HA.HB = OH2 = 1 (không đổi) AB = HA + HB >-2 x/HA.HB = 2
=> AB > 2
Dấu "=" xảy ra, tức AB = 2 HA = HB o AOAB vuông cân ở 0 các tam giác OHB và OHA vuông cân, có cạnh góc vuông bằng 1
OA = OB = 72 .
Vậy đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi A( 72 ; 0) và B(0; 72 ).
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. a) Cho 3 số a, b, c bất kì.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
Cho 3 sô' a, b, c thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh rằng: - 2 - ab + bc + ca < 1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 > a(b + c + d + e).
•Hướng ìân: a) Nhân 2 vế cho 2 biến đổi về dạng:
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 > 0
Áp dụng câu a) và hằng đẳng thức:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Nhân 2 vế cho 4 biến đổi về dạng:
(2a - b)2 + (2a - c)2 + (2a - d)2 + (2a - e)2 > 0
2. a) Cho a > b > 0. Chứng minh: a +
b(a - b)'
->3
b) Cho a > 1. Chứng minh: Va-1 < I
-Hướng ỉẫn: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 sô': a - b, b, ——!—— b(a - b)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số: 1 và a - 1.
3. a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác có chu vi là 2p. Chứng minh rằng:
> a	b	c „
a) -	i	-—I—— > 3;
b+c-a a+c-b a+b-c
b) —-— + —4- + —— >21— + 7- + -
p-a p-b p-c va b c,
-Hướng ìẫn: a) Đặt x = b + c-a;y = a + c-b;z = a + b- c(x, y, z > 0)
Ti.-i' 3Í-	1 .»-1 íí	.. X + y z + X y + z „
Biến đôi vể bất đắng thức:	+ —— + —— > 6
IX*. I - 1>	11	4
b) Ap dụng bất đẳng thức: — + — > —-— (x, y > 0)
X y X + y
a) Cho y = 2x(1 - 3x) với 0 < X <	. Tìm giá trị lớn nhất của y.
3
b) Cho y - 2x + —í (x > 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
ĩ>áp sô': a) max y = 77 khi X =	;
6 6
b) min y = 2( V2 +1) khi X = 1 + -Ậr v2