Giải toán 10 Bài 5. Dấu của tam thức bậc hai

§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với X là biểu thức dạng f(x) = ax2 +bx + c trong đó a, b, c là những hệ số đã cho, a * 0.
Dấu của tam thức bậc hai
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a * 0), A = b2 - 4ac.
Nếu A < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi xe K .
Nếu A = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi X =	.
c) Nếu A > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi X x2, trái dấu với hệ số a khi X, < X < x2 trong đó Xi, x2 (x, < x2) là hai nghiệm của f(x).
X
-co	Xl
x2
+00
af(x)
+ 0
0
+
f(x)
cùng dấu a 0
trái dấu a
0
cùng dấu a
Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn X là bất phương trình dạng ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a * 0.
Giải bất phương trình bậc hai
Đưa bất phương trình về dạng: f(x) > 0 (hoặc f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) < 0)
Xét dấu biểu thức f(x).
Chọn tập nghiệm tương ứng với chiều bất đẳng thức.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Xét dấu các tam thức bậc hai a)5x2-3x+1;	b) -2x2 + 3x + 5;
c)x2+12x + 36;	d) (2x - 3)(x + 5).
tflai
Ta có: a - 5 > 0 và A = 9 - 20 = -11 0, Vx 6 R
Ta có: -2x2 + 3x + 5 = 0 
d) (2x - 3)(x + 5) = 0 
Bảng xét dấu:
x
-00
-1
5
2
+00
-2x2 + 3x + 5
-
0
+
0
-
c) X2 + 12x + 36 = (x + 6)2 > 0 với mọi x
X
-õo
-6
+00
X2 + 12x + 36
+
0
+
Bảng xét dấu:
X
-00
-5
3
2
+00
(2x -3)(x + 5)
+
0
-
0
+
2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau
a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5);
c) f(x) = (4x2 - 1 )(-8x2 + X - 3)(2x + 9);
b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - X - 1); (3x2 - x)(3 - X2)
d) f(x) =
4x + X - 3
a) 3x2 - lOx + 3 = 0 
6jiải
4x-5 = 0x = — 4
b) 3x2 - 4x = 0 
2x - X - 1 
X = 0 4
X = —
3
X = --
-8x2 + X - 3 < 0, Vx e R vì (a = -8 < 0, A - -95 < 0)
2x + 9 = 0x =
X
-9	_ỉ	1	+00
2	2	2
4x2 - 1
+
+ 0 - 0 +
-8x2 + X -3
—
-
—
—
2x + 9
- 0 +
4-
+
f(x)
+ 0 - 0 + 0 -
Bảng xét dấu:
d) 3x2 - X = 0 
x = 0
1
X = — 3
3-x2 = 0x = ±73
"x =-l
4x + X - 3 = 0 
X
-00	_1	0	ỉ	£	73	+00
3	4
3x2 - X
+
+
+ 0 - 0 +
+
+
3 - X2
- 0 +
+
+
+
+ 0 -
4x2 + X - 3
+
+ 0 -
-
- 0 +
+
f(x)
- 0 +
- 0 + 0 -
+ 0 -
Bảng xét dâ'u:
3. Giải các bất phương trinh sau a) 4x2 - X + 1 <0;
.	1	3
c) ---—<	.
b) -3x2 + X + 4 > 0; d)x2-x-6<0.
X -4 3x +X-4
Ta có: 4x2 - x+ l>0, VxeR vìa = 4>0vàA = -15 < 0
Vậy bâ't phương trình đã cho vô nghiệm: s = 0.
,'x = -1
-3x2 + X + 4 > 0 o
X
-00
-1 1 3
+00
-3x2 + X + 4
0 + 0
-
Bảng xét dấu:
-1;
. 4
Vậy: s =
c)
X2 - 4	3x2 + X - 4
1.
x2-4	3x2+x-4
3x2 + X-4-3X2 +12 n
-7—:	, ,	- 
(x2 - 4)(3x2 + X - 4)	fx2 - 4)(3x2 + X - 4)
Bảng xét dấu:
-00 -8 -2 -- 1
X + 8
- 0 +
+
+
+
+
X2 - 4
+
+ 0 -
- 0 +
3x2 + X -4
+
+
+ 0 - 0 +
+
X + 8
) +
-
+
-
+
(x2 -4)(3x2 +X-4)
4
3
Tập nghiệm bâ't phương trình là: s = (-00; -8) u ^-2;-^ Ư (1; 2).
4. Tìm các giá trị của tham sô' m đẽ’ các phương trinh sau vô nghiêm
(m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0;	(1)
(3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0.	(2)
ố^iảl
a) Với m = 2 thì (1) trở thành 2x + 4 = 0x = -2 Phương trình có nghiệm.
Với m * 2, (1) vô nghiệm khi và chỉ khi
A' = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6) 	-m2 + 4m - 3 m2 - 4m + 3 > 0
m < 1	Ị 3 +x
	Vi+ỉttỉỉỉtỉÂ	►
m > 3
b) Với m — 3: (2) thành -12x + 5 = 0 X = —- 12
Phương trình có nghiệm.
Với m 3: (2) vô nghiệm khi và chỉ khi
A' = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2) < 0
-3/2
 2m + 5m + 3 < 0	— < m < -1 tHHHHHẠ
-1	+3C
+ 0-0
2.
d>r°?
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Giải các hệ bất phương trình:
a)
X -7x + 6 0
b)
X2 + 4x + 3 > 0 2x2-x-10 0
c) -4 <
X2 -2x-7
X2 +1
<1;
iế: a) s = [1; 3] u [5; 6];
c) s =
u [1; +co);
..	.	10x2-3x-2	.
d) -1 < —-5—7—< 1.
-X +3x-2
b)S = [-1;l)U(|;| d)S=|-f;oK(A;j
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
X2 + (m - 2)x - 2m + 3 = 0 Dáp iô: m -2 + 2 73 .
Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào: a) X2 - 2(m + 1 )x + 2m2 + m + 3 = 0; b) (m2 + 1 )x2 + 2(m + 2)x + 6 = 0.