Giải toán 10 Bài 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)<g(x)	(f(x) < g(x)) (1)
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X.
Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) < g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “o" để ch? sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương đó.
Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.
Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tựơng đương.
P(x) < Q(X) o P(x) + f(x) < Q(X) + f(x)
Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) P(x).f(x) 0, Vx P(x) Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vx
Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) P2(x) 0,Q(x)>0, Vx
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm các giá trị X thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau
. 1 , 1 a) - < 1 - —— ;
X X +1
c) 2|x|-1+^x-1 < 2*
2x
2 .	? ... „
X -4 X -4x + 3
d) 2Ự1 — X > 3x + —— .
x + 4
tfuii
a) Điều kiện: ]	 X e R \ {0; -II
X * -1
b) Điều kiện:
xz - 4 * 0 X2 - 4x + 3 * 0
X * ±2
X * 1 o X e K \ (1; 3; 2; -2} X * 3
Điều kiện: X * -1 X e \ (-1Ị
Điều kiện: p X-0JX_1xe (-ao; 1]\{—4|
IX + 4 * 0 X * -4
b) ựl + 2(x-3)2 +V5-4X + X2 <1
Chứng minh các bất phương trinh sau vô nghiệm a) X2 + ựx + 8 < -3 ;
Vl + X2 - \Ỉ7 + X2 > 1.
éjiải
Vì X2 > 0 và yJx + 8 > 0, Vx > -8 nên X2 + Vx + 8 > 0, Vx > -8 Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Vì ựl + 2(x - 3)2 > 1 và Võ - 4x + X2 = ^1 + (x - 2)2 > 1
với mọi X nên yỊl + 2(x - 3)2 + Võ - 4x + X2 > 2, Vx e K Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Vì Vl + X2 < Vĩ + X2 nên Vl + X2 - Vĩ + X2 < 0. Vx e R Bâ't phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0;	b) 2x2 + 5 < 2x - 1 và 2x2 - 2x + 6 < 0;
c)x+1>0vàx+1+	1	> —;	d) Vx-1 > X và (2x + 1)v/x — 1 > x(2x +1).
x2 + 1 X +1
ốỹúii
a) Nhân hai vế bất phương trình thứ nhát với -1 và đổi chiều ta được bâ't phương trình thứ hai (tương đương).
b) Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.
1
c) Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức
X2 +1
không làm thay
đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương, d) Hai bâ’t phương trình có điều kiện chung là X > 1. Trên tập các giá trị
này của X thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).
4. Giải các bất phương trinh sau
3x + 1 _ x-2	1-2x .
2	3	<	4	'
a)
b) (2x - 1 )(x + 3) - 3x + 1 < (X - 1)(x + 3) + X2 - 5.
a)
3x +1	X-2	1-2X	3(3x +1) - 2(x - 2)	1 - 2x n
—-	— -2	’ 	ù	L _ 2—	 < 0
2	3	4	6	4
7x + 7 2x - 1
o	< 0 <2 14x + 14 + 6x - 3 < 0 o 20x < -11
11 c _ f 11 X < - ^. Vậy s = -o°;-êê
20	V 20
b) (2x - l)(x + 3) - 3x + 1< (x - l)(x + 3) + X2 - 5
 2x2 + 5x-3-3x + 1 1 < -5 vô nghiệm, s = 0.
5. Giải các hệ bất phương trình:	a)
a)
8x + 3
< 2x + 5
6x +	< 4x + 7
7
8x + 3
< 2x + 5;
tyZd’z
2x < 7 -1
7	
8x + 3 < 4x + 10
22
b)
„	44
2x < —
7
4x < 7
2 3
3X-14
15x-2>2x +
2(x -4) <
 X < ỳ . Vậy s = -oo;
b)
15x - 2 > 2x +
3
13x>
2(x - 4)
3x -14
4x - 16 < 3x -14
X > — 39
X < 2
 J- < X < 2. Vậy: s = |-J-;2 I. 39	139	1
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Giải các bất phương trình sau: a) 2(x - 1) + X > ^7-3 + 2;
. x+2x-2x-1_x c) —— + —— >3 + 7 2	3	4	2
Giải và biện luận các phương trình: a) m2x - 1 > X + m;
b) (X + Tã )2 > (x - 72 )2 + 2;
(m-1)x	1-x	x-1
b) 	— > -—- - ——-
2(m + 2)> 2 m + 2
3x-1 3(x-2)	5-3X
4x-1	x-1 4-5x
18 >_Ĩ2	9—
X + 4m 2x-1
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ phương trình:
ĩvp iể: X = 4.
Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
T)áf} iế: m > - 2.