Giải toán 10 Bài 3. Công thức lượng giác

§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Công thức cộng
Công thức cộng đối với sin và cosin:
cos(a - P) = cosa.cosp + sina.sinp cos(a + P) = cosa.cosp - sina.sinp sin(a - P) = sina.cosp - cosp.sina sin(a + p) - sina.cosp + cosp.sina
Công thức cộng đối với tang:
tana-tanp .	, , tana + tanp
tan(a - P) =	? ' „ ; tan(a + P) -
. Công thức nhân đôi
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a -1=1- 2sin2a; sin2a = 2sina.cosa
2 tan a
1 - tan2 a
G/ẩ/S7" Oạ/số 70- 101
Công thức biến đổi tích thành tống và biến đổi tổng thành tích
Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosp = -|[cos(a + p) + cos(a-P)] sinasinp = -^[cos(a + p)-cos(a ~P)J
sinacosp = -^-[sin(a + p) + sin(a-P)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
	x + y___x-y
cos X + cosy = 2 cos——COS ■	-
2 2
_ . x + y . x-y cosx -cosy = -2sin———sin——-
2 2
„ .x + y __ x-y sinx + siny = 2 sin——-cos—7—
2 2
„	x+y . x-y
sinx - siny = 2 COS —-sin——-
2 2
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Tính: a) COS2250, sin240°, cot(-15°), tan75°;	b) sinỊ^-.cosí --Ĩ-Ỵtanl .
12 Ị 12J U2 J
ZyZziZ
a) COS 225° = cos(180° + 45°) = - COS45° = -77- 2
/0
sin240° = sin(180° + 60°) =-sin60° = -77 2
1+2/3 - „
cot(-15°) = -cot 15° =	- - tan 45°. tan 30°
	= 1 + tan 45°. tan 3Q° =	3 = 3 + 73
tan(45c-30°) tan 45° - tan 30° 7ặ !	73-3
3
tan 75° = tan(45° + 30°) =
tan 45° + tan 30°

73 . _ 7| + 1 1--L ^-1
’73
tan = tani 7T +
12 I
— !
12;
tan 7 - tan — 3	4
4	7Ĩ 7T
'	1 +tan 7 tan 7
3	4
4^4 = 2-73 73 + 1
Tính: a) COS a + 4 , biết sinơ = 4= và 0 < a < 4 :
I 3J	75	2
tani a - 4 Lbiet cosa = -4 và 4 < a < 7t;
I 4j	3	2
cos(a + b), sin(a - b), biết sina 4' 0° <a < 90°và sinb =	90° < b< 180°
5	3
ốịlảl
.	n	„ „	„	71	-	.4	/2	Tẽ
a)	Vi	0	< a	<	7	nen cosa	=	VI - sin	a	= , —	=
2	\3	3
o	 , 71A	71	71
suy ra: COS a + — = cosa.cos — - sina.sin —
cos2 a
1 . 71 1-272 1 + tan a. tan 7 4
c) 0° cosa > 0, 90° cosb < 0.
__ /1 _ 4l6_3	r^ Ts
25	5	V 9	3
3. Rút gọn các biểu thức a) sin(a-ì b) +sin<2 - a)sin(-b);
b) CQSj^ + a ị COS 4 -aì + 4sin2a;
_ 4Ĩ 7_ J_ ll -
3 ‘2 73 2	21 3
-1
b) 7 tana tana = - 2
1 = -272
/7	1	1	4	-272-1	9 + 472
tan a - 7 =	2- =	-~r=- =	—
I 4 J	1-272	7
cos(a + b) = cos a COS b - sin a sin b =
sin(a - b) = sin a COS b -■ COS a sin b =
375 +8
15
6 + 475
15
5 - - a +—i
4	4	2
c) cos^-ajsinj I t) sinja b).
a) sin(a + b) + sin^ - a jsin(-b) = sinacosb + sinbcosa - cosasinb = sinacosb
sin2 a
b) COSL^7 +a icosi — - a ì + Ậsi
u ) u J 2
71
7t
= COS — COS a - sin — sin a	COS — COS a + sin — sin a + — sin a
72,
72 ,	 . x 1.9,
= —r- (cos a - sin a) —~ (cos a + sin a) + -7- sin2 a 2 2 2
1/2 • 2 \ 1*2 1 2
= — (cos a - sin a)+ — sin a = — COS a 2 2 2
c) COS -a) sin	- sin(a - b) = sinacosb - sinacosb + sinbcosa
= cosasinb
4. Chứng minh các đẳng thức a) cos(a—= co*aco*b +1.
cos(a + b) cota.cotb-1 •
sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a;
cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a.
a)
cos(a - b) _ cos a cos b + sin a sin b _ sin a sin b (cot a cot b +1) _ cotacotb + 1 cos(a + b) cos a cos b - sin a sin b sin a sin b (cọt a cot b -1) cotacotb-1
sin(a + b)sin(a - b) = (sinacosb + cosasinb)(sinacosb - cosasinb)
= sin2 acos2b - cos2asin2b = sin2 a(l - sin2b) - sin2b(l - sin2a)
= sin2a - sin2asin2b - sin2b + sin2asin2b = sin2a - sin2b
= (1 - cos2a) - (1 - cos2b) = cos2b - cos2a.
cos(a + b)cos(a - b) = (cosacosb - sinasinb)(cosacosb + sinasinb)
= cos2acos2b - sin2asin2b = cos2a(l - sin2b) - (1 - cos2a)sin2b = cos2a — sin2b - 1 - sin2a - (1 - cos2b)
= cos2b - sin2a
5. Tính Sin2a, cos2a, tan2a, biết
.a) sina = -0,6 và n<a<y;
,	 1 . 3jt
c) sina + COSa = và < a < Jt.
b)
5	, 71
cosa = --^- và ^<a<7t; 13	2
sin a + cosa =
a) Trường hợp sin a + cosa = 4 ta có hệ 3
sina.cosa = -
3
£
18
Ốjíải
71 cosa cosa = - 7l - sin2 a = -0,8
Do đó sin2a = 2sinacosa = 2(-0,6).(-0,8) = 0,96
cos2a = 1 - 2sin2a = 1 - 2(-0,6)2 = 0,28
.	_ sin2a 0,96	„
tan2a = — _ = K 3,43
cos 2a 0,28
 sina > 0 => sina = Vl - COS2 a = —
13
Do đó: sin2a = 2sinacosa = 2. f-rrl.-TT =
13J 13	169
2
cos2a = 2cos2a - 1 = 2. f -	-1= - ỊịẸ
13 J	169
sin 2a 120 cos 2a 119
9	1	1	3
(sina + cosa)2 = 4 => 1 + sin2a = — => sin2a = - —
4	4	4
—-£ cos2a > 0 4	2
	o_ r. .2 n- V7.x__.n_ sin2a	3
=> cos2a = 71 - sin 2a = ——; tan2a = ——— =
4	cos 2a 77
6. Cho sin2a = -Ệ và 'ị < a < Jt. Tính sina và cosa.
9	2
ốịiảl
71
 sin a > 0, COS a < 0
Ta CÓ sin2a + cos2a = 1
<M I co
sin 2a = 2 sin acosa = - f- => (sin a + cosa)2 = 4 => sin a + cosa = ±
suy ra sina và cosa là nghiệm của phương trình x-4x--£ = 0.
18
XA	n . n	_	2 +	_	2 - 7ĨĨ
Vì sina > 0,	cosa < 0	nên sin a =	—-7— ,	cosa =	7.
b) Trường hợ'p sin a + cosa = - T ta có hệ -i 3
sill a + cosa = -— 3
sina.cosa =
18
suy ra sina và cosa là nghiệm của phương trinh: x2+^x--|- = 0 3	18
™ n	n	VĨ4 - 2 	 2 + ỰĨ4
Vì sina > 0 và cosa < 0 nên sin a = —, cosa = -——7—
.	2+VÌ4	 2-ỰĨ4 ,
Vậy: sin a = i, cosa =	7— hoặc
6	6
yĩĩ-2 	 xĨ4+2
sin a = —- , cosa = 	.
6	6
7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau a) 1 - sinx;	b) 1 + sinx;
c) 1 + 2cosx;
d) 1 - 2sinx.
Ốịiải
7t	71
77 + X — - X	Z _	\ z _	\
7Ĩ .	9	9	I 7Ĩ X I I 71 X 1
a) 1 - sin X = sin 77 - sinx = 2cos —sin — = 2cos — + _ sin — - -
2	2	2 u 2) u 2)
71
77 + X
TỊ	ọ
b) 1 + sinx = sin 77 + sinx = 2sin-A_—005^==— 2 22
= 2sin( 4 + 1 I COS I
u 2) u 2
c) 1 + 2cosx = 2| 1 + cosx j = 21 cos 4 + COS xi = 4 COS ị 4 + 4 I COSf4 -4 I • 12 J I 3 J V6 2;	\6 2;
d)
1 - 2 sin X = 2fl - sin X Ị = 2Ỉ'. sin ~ - sin xi = 4cosf 44 + 4 I sin f “4 - — Ì • <2 J t 6 J <12 2J I12 2)
8. Rút gọn biểu thức A :
sỉnx + sin3x + sin5x
cosx + cos3x +cosõx
ố^iải
(sill X + sinõx) + sin3x 2sin3xcos2x + sin3x sin3x A = 	—	—	= 	7——7-	—- =	=	tan	3x
(cosx + cosõx) + cos3x 2cos3xcos2x + cos3x cos3x
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. a) Tính sin2a biết sina -- cosa = 1;
5
, .	...	. , cosa + sina cosa-sina
b) Chúng minh: —-7	 —= 2tan2a.
cosa-sina cosa + sina
2. Tính giá trị các biẽu thức sau: a) A = cos20°cos400cos600cos80°;
, ' „	71	4n	5ti
b) B = COS -t cos --- cos —- ;
7	7	7
c) c = sin60sin42°sin660sin78° 1
iế: a) A =
16
b) B =
c) c =
16