Giải toán 10 Bài 4. Phương sai và độ lệch chuẩn

§4. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUAN
KIẾN THỨC CĂN BẢN
Tính phương sai theo các công thức sau đây
Trường hợp bảng phân bố tần số, tận suất
sx = p[ni(xi -x)2 +n2(x2 -X)2 +... + nk(xk -X)2]
= f1(x1 -X)2 +f2(x2 -X)2 + ... + fk(xk -X)2.
trong đó rij, tị lần lượt là tần số, tần suất của giá trị Xi, n là số các số liệu thống kê (n = n( + n2 + ... + nk); X là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
Trường hợp bảng phân bố tẩn số, tần suất ghép lớp
s2 =^[n1(c1 -X)2 +n2(c2 -x)2 + ... + nk(ck -X)2]
= f1(c1-x)2+f2(c2-x)2+... + fk(ck-x)2.
trong đó Cj, Oi, tị lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n = nì + n2 + ... + nk); X là số trung bình cộng của các sô' liệu thống kê đã cho.
Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx = ựs^
Phương sai s2và độ lệch chuẩn sx đều được dùng để đánh giá niưc độ
phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng sx, vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn cùa bảng phân bố tẩn sổ đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bô' tần sô' ghép lớp cho ở bài tập 2 của §1.
ốỹẰl
Trong bảng phân bố tần sô' ở bài tập 1
X = 1170 => S2 = 0,1.(1150 - 1170)2 + 0,2.(1160 - 1170)2 +
+ 0,4(1170 - 1170)2 + 0,2.(1180 - 1170)2 + 0,1.(1190 - 1170)2 = 120
Độ lệch chuẩn sx = ựs|" «11 giờ
Trong bảng phân bố tần sô' ở bài tập 2
X = 31 => S2 = Ặ(15-31)2+ ị|(25 - 31)2 + ịị (35-31)? + ịị(45 - 31)2 « 84 x 60 60 60 60
Độ lệch chuẩn s w 9,2 cm.
Hai lớp 10C, 10D của một trường Trung học phổ thông đổng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần sô' sau đây Điểm thi Ngữ vãn cùa lớp 10C
Điểm thi
5
6
7
8
9
10
Cộng
Tấn sô'
3
7
12
14
3
1
40
Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D
Điểm thi
6
7
8
9
Cộng
Tần số
8
18
10
4
40
Tính các số trung binh cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tắn số đã cho.
Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ Văn ở lớp nào đồng đều hơn?
tfiai
Trong dãy sô' liệu về điểm thi của lớp 10C ta có :
X = ị(3.5 + 7.6 + 12.7 + 14.8 + 3.9 + 1.10) « 7,2 điểm 40
Phương sai S2 = -ị-[3(5 - 7,2)2 + 7.(6 - 7,2)2 + 12(7- 7,2)2 +
40
+ 14(8 - 7,2)2 + 3(9 - 7,2)2 + 1.(10 - 7,2)2] « 1,3 Độ lệch chuẩn Si ss 1,13.
Trong dãy sô' liệu về điểm thi của lớp 10D ta có :
ỹ = -^-(8.6 + 18.7 + 10.8 + 4.9) « 7,2 điểm 40
s| « 0,8; s2 = 0,9.
Các sô' liệu thống kê có cùng đơn vị đo, X « y « 7,2; s2 > S2, suy ra điểm sô' của các bài thi ở lớp 10D là đồng đều hơn.
3. Cho hai bảng phân bó’ tấn số ghép lớp Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1
Lớp khối lượng (kg)
[0,6;0,8)
[0,8:1,0)
[1,0:1,2)
[1.2:1,4]
Cộng
Tần số
4
6
6
4
20
Khối lượng của nhóm cạ mé thu 2
Lớp khối lượng (kg)
[0,5:0,7)
[0,7:0,9)
[0,9:1,1)
[1,1:1,3)
[1,3:1,5]
Cộng
Tần sô'
3
4
6
4
3
20
Tính các số trung binh cộr g của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Tính phương sai của các bàng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đểu hơn?
ốịiẦi
a) Khối lượng trung bình của nhóm cá mè thứ 1 là:
Trung bình cộng các bình phương số liệu thông kê
X2 = ^-(4.0,72 + 6.0,92 + 6.1, l2 + 4.1,32) = 1,042 20
=> s2 = x2 - (x)2 = 1,042 - 1 = 0,042
y2 = “(3.0.62 + 4.0,82 + 6.12 + 4.1,22 + 3.1,42) = 1,064 20
=> Sg = y2 - (y) = 1,064 - 1 = 0,064
Nhóm cá thứ 1 có khôi lượng đồng đều hơn.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của 50 bệnh nhân mắc bệnh này. số liệu thống kê được trình bày trong bảng phân bô' tần số sau đây:
Lớp
Tần số
[15; 19]
10
[20; 24]
12
[25; 29]
14
[30; 34]
9
[35; 39]
5
N = 50
Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.
Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đổng) mà 60 khách hàng mua sách ở cửa hàng trong một ngày. Số liệu được ghi trong bảng phân bố tần số sau:
Lớp
Tần số
[40; 49]
3
[50; 59]
6
[60; 69]
19
[70; 79]
23
[80; 89]
9
N = 60
Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.