Giải toán 10 Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung

  • Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung trang 1
  • Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung trang 2
  • Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung trang 3
  • Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung trang 4
  • Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung trang 5
§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = a (còn viết AM = a)
sina = OK
cosa = OH
sina ...	 -.
tana = ■■■-— (với cosa * 0)
cos a
cosa . .. .	-.
cota =	(với sina * 0)
sina
Các giá trị sina, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của cung a. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
Hệ quả
Vì các góc lượng giác a + 2k7t, k e z cùng xác định một điểm M trên đường tròn lượng giác nên ta có:
cos(ot + 2kn) = cosa; sin(a + 2krc) = sina
Với mọi a, ta luôn có: -1 < cosa < 1; -1 < sina < 1
tana xác định với mọi aỉÉT+kn.keX
2
cota xác định với mọi a * k7i, k e z tan(a + k7i) = tana; cot(a + krc) ~ cota, k e z
d) Dâu giá trị hàm sô lượng giác
phần tư
Giá trị lượng giac
I
II
Ill
IV
cosa
+
-
-
+
sina
+
+
-
- ■
tan a
+
-
+
-
cota
+
-
+
-
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
a
0
71
6
71
4
7Ĩ
3
71
2
sina
0
1
2
72
2
7s
2
1
cosa
1
73
2
7|
2
1
2
0
tana
0
1
73
1
Tã
Không xác định
cota
Không xác định
1
1
73
0
Công thức lượng giác cơ bản
sin2 a + COS2 a = 1
1 + tan2 a = —-T—, a #	+ krc, ke z
cos2 a	2
, J .a	1
1 + coĩ a =	'	, a*kn, keZ
sin a
tana.cota = 1,	a*^7, keZ
2
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
cot(-a) = -cota cos(a + 7i) = -cosa cot(a + 7i) = cota cos(7t - a) = -cosa cot(n - a) = -cota
Hai góc đối nhau:	sin(-a) = -sina;	cos(-a) = cosa
tan(-a) = -tana;
Hai góc hơn kém nhau 7t: sin(a + 7t) = -sina;
c) Hai góc bù nhau:
tan(a + 7i) = tana; sin(n - a) = sina; tan(n - a) = -tana;
d) Hai góc phụ nhau:
a = sina
sinị -^-a I - cosa;
COS
= tana
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Có cung ư náo mà sinct nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a) -0,7;
b)
c) -yíi ;
d)
Ti
Ốịiải
Vì -1 < -0,7 < 1 nên có cung a sao cho sina = -0,7.
Vì > 1 nên không có cung a nào thỏa sina = 4- .
c) -72 < -1 nên không có a thỏa sina = -72
d) Vì > 1 nên không có a thỏa sina =
2. Các đẳng thức sau có thể đổng thời xảy ra không?
T2...	 T5.
a) sina = -—vả COS(Í= _ ;
3	3
75
2
b) sina = --3 và cosa =
5	5
c) sina = 0,7 và cosa = 0,3.
Ốịiải
a) Không, vì không thoả mãn hằng đẳng thức sin2a + cos2a = 1.
b) Có, vì
= 1;
c) Không vì (0,7)2 + (0,3)2 * 1.
3. Cho 0 < a < ^ . Xác định dấu cùa các giá trị lượng giác
a) sin(a - It)!
b) COS
c) tan(« + 7t);
d) cot a +
a)0 -71 < a - 7t < “ suy ra điểm cuôi của cung a - 71 thuộc 2 2
cung (III) trên đường tròn lượng giác nên sin(a - 7i) < 0
b) 0 < a <
-— 71 < —
371	.ỉ1 7 	*'•	„
a < — suy ra aiem CUO1 cứa
cung - a thuộc cung (III) 2
Do đó cos( - a) < 0.
2
0 7t < 7t + a < 2
371
T
71 + a e (III) => tan(7t + a) > 0.
„	71	7T	7Ĩ	71 ZTT\	71 \	- rv
0-;a+-- € (II) => cot(a + —) < 0.
Tính các giá trị lượng giác của góc a, nếu
cosa = -ậ- và 0 < a < ỊỊ; 13	2
c) tana = --3-và 77<a<7t; 7	2
sina =-0,7 và 7t<a<^;
d) cota = -3 và < a < 2ti . 2
ốjiải
Nếu 0 0.
2
Nếu 71 < a < thì cosa < 0. Ta CÓ:
2
cos2a = 1- 0,49 = 0,51 => cosa w -0,71 (làm tròn) tana w 0,99; cota ~ 1,01.
Neu -7- 0, cosa < 0. 2
COS2 71
= 1 + tan2a => COS2 a =
1	49
1 + tan2 a 274
cos a = -
.	15	7
sin a = tan a. COS a = ,	, cot a = - —
7274	15
371
 sin a 0 2
—- => sin a = -
sin a
—4— = 1 + cot2a => sin2 a =	-— = —
2 -	1 + cot2 a 10
cos a = sin a. cot a = —==; tan a = -— 7ĨÕ	3
Tim a, biết: a) cosa = 1;
d) sina =1:
a = k27t, k € Z;
b) cosa = -1;
e) sinu = -1:
b)a = (2k + 1)71, k e z;
c) cosa = 0: f) sina = 0.
c) a = ^ + k7t, k e Z; 2
a = ^ + k27t, k € z ; 2
f) a = k7t, k e z.
a = “ + k27t, k € Z; 2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x);
B = cos(x - k) + sin^x-^J - tan^ + x^cot^-^-x)
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
b) sinA = -sin(2A + B + C);
. 	 B + C . A
a) cos—-—= sin--;
2
tanA = -tan(B + C)
Xác định dấu của since, cosa, tana biết:
71 < a <
371 < a <
3k .
2 ;
1 Ok
3k	7k
—- < a < —- ;
2	4
571	1 1k
—- < a < —— 2	4
7k
< a < 2k
2k < a < —- 2
4. Chứng minh rằng:
, tan2a-sin2a a) '	"	= tan a;
cot a - cos a
, . sina + cosa .	.	 .	2.. .
b) 	—= 1 + tana + tan a + tan a.
cos2 a