Giải toán 10 Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VE
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT, bậc hai
A. KIÊN THỨC CĂN BẢN
1. Phương trình bậc nhâ’t
Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
ax + b = 0 (1)
Hệ
số
Kết luận
a * 0
(1) có nghiêm duy nhất X =
a
a - 0
b*0
(1) vô nghiêm
b = 0
(1) nghiêm đúng với mọi X
2. Phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a * 0) (2)
A = b2 - 4ac
Kết luận
A > 0
(2) có hai nghiêm phân biêt x19 = - k± '/Ã
2a
A= 0
(2) có nghiêm kép X = ——
2a
A < 0
(2) vô nghiệm
Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) có hai nghiêm X,, x2 thì
b	c
Xi + x2 -	, XiX2 - —
a	a
Ngược lại, nếu hai số u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình
4.
X2 - Sx + p = 0.
Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đôi IAI = B
Í
 A nếu A > 0 -A nếu A < 0
Cách 2: Điểu kiện B > 0
A = B A = -B
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
VÃ = B 
A = B2
ÍB>0
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Đặt điều kiện.
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức chung.
Đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Kiểm tra điều kiện.
Kết luận tập nghiệm.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Giải các phương trinh a)
- 3x + 2 2x - 5
2x + 3	4
c) 73x - 5 = 3 ;
b) 2#3	4	= 24_t
x-3 x + 3	x2-9
d) 72x75=2.
ố^íảl
a) Điều kiện: X *
2
X2 + 3x + 2 2x - 5 2x + 3	“	4
 4(x2 + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5)
4x2 + 12x + 8 = 4x2 - lOx + 6x - 15 16x = -23 23
 X = - (thỏa điều kiện)
16
23
VậyS=tl6
b) Điều kiện: X * ±3
2x + 3	4
Ta có:
24
X - 3 X + 3
	(2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3)= 24 + 2(x2 - 9) 5x = -15
 X = -3 (loại). Vậy s = 0 5
X2 -9
c) Điều kiện: X >
14
d) Điều kiện: X > - 7
T3x - 5 = 33x-5 = 9x = 77 (nhận) 3
Vậy s =
5
t: X > -7 2
V2x + 5 = 22x + 5 = 4x = -i. Vậy s = 1“ 2} •
2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô' m
a) m(x - 2) = 3x + 1;	b) m2x + 6 = 4x + 3m;
(2m + 1 )x - 2m = 3x - 2.
ổjiâi
Ta có m(x - 2) = 3x + 1 (m - 3)x = 2m + 1
KTA-„	t o _ 2m + 1 Ị2m + lì
m-3	1 m-3 J
Nếu m = 3 thì Ox = 7; s = 0
m2x + 6 = 4x + 3m o (m2 - 4)x = 3m - 6 (m - 2)(m + 2)x = 3(m - 2).
Nếu m * ± 2 thì X = —; s = {—ị
m + 2 (m + 2J	_
Nếu m = 2 thì Ox = 0; s = R
Nếu m = -2 thì Ox = -12; s = 0
(2m + l)x - 2m = 3x - 2 (2m - 2)x = 2m - 2.
Nếu m / 1 thì X = lj s = (1)
Nếu m = 1 thì Ox = 0; s - K.
Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thi số quả ở rổ thứ hai bằng của bình phương sô' quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi sô' quả quýt ở
mỗi rổ lúc ban đẩu là bao nhiêu?
ốĩiải
Gọi X là số quýt ở mỗi rổ. Điều kiện là X nguyên và lớn hơn 30. Ta có phương trình
X + 30 = ỉ(x - 30)2 X2 - 63x + 810 = 0 o>
Vậy sô' quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả. 4. Giải các phương trinh ' a) 2x“ - 7x2 + 5 = 0;
ỐỊlải
a) Đặt X = X2 (X > 0)
5
X = 45
X = 18 (loại)
b) 3x4 + 2x2 - 1 = 0.
Ta có: 2X2 - 7X + 5 = 0 
Vậy s =
-1; 1;-
10 7ĨÕ
X2=Ẽ 2 
x2=l
X = ±1
Đặt X = X2 (X > 0)
Ta có: 3X2 + 2X - 1 = 0 
X = -1 (loại)
„2 _ 1	I 7Ỗ
 X = 77 x= ± --- .
3	3
Vậy s =
73. y/3_
3 ’ 3
Giải các phương trình sau bằng máy tinh bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phàn thứ ba)
a) 2x2 - 5x - 4 = 0;	b) -3x2 + 4x + 2 = 0;
d) 9x2 - 6x - 4 = 0. b) X! « -0,387; x2 » 1,721; d) X! « 1,079; x2 « -0,412. b) |2x-1| = I-5X-2I; d) |2x + 5l =x2 + 5x+1.
c) 3x2 + 7x + 4 = 0;
'ĩ)á‘f> iế: a) Xi « 3,137; x2 « -0,637;
Xi = -1; x2 « -1,333;
Giải các phương trình a) 13x - 2| = 2x + 3;
X -1	-3x +1.
c 2x-3_ ịx + l| :
ốỊiải
Điều kiện: X > - ^ 2
,	,	„	„	T3x-2 = 2x + 3 x 5
L	|_x = -1
VậyS=(-l;-iJ.
3
Điều kiện: X * và X * -1.
2
Nếu X > -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình X2 - 1 = -6x2 + llx - 3 7x2 - llx + 2 = 0
11 ± 765 _ ,	3.
14	2
Nếu X 5x2 - llx + 4 = 0
11 ± 7ĨĨ , 11 ± 7ĨĨ ,, ,. ,	.,
11-705
11 + 705
14
14
10
10
Vậy s =
X = 	777— (loại vì 	77—— đểu lớn hơn -1)
d) • Với X > - — ta có: 12x + 5 ! = X2 + 5x + 1 2x + 5 = X2 + 5x + 1
 X2 + 3x - 4 = 0 
X = 1(nhận) X = -4 (loại)
Với x < - — ta có: I 2x + 5 I = X2 + 5x + 1 o -2x - 5 = X2 + 5x -h 1 2
 X + 7x + 6 = 0 
Vậy s = (1;-6|.
7. Giải các phương trình:	a) \/5x + 6 = x 6 ;
c) \'2x2 + 5 = X + 2 ;
a) 7õx + 6 = X - 6 •
X = -1 (loại)
X = -6(nhận)
b) 73 - x = Vx + 2 +1; d) \'4x2 + 2x +10 = 3x + 1 .
x-6>0	(x>6
5x + 6 = (x - 6)2 ịx2 - 17x + 30 = 0 X > 6
X = 15 X = 15. Vậy s = 115}.
b) Điều kiện -2 < X < 3.
Ta có: 73 - X = 7x + 2 + 1 3-x = x + 2 + 2 7x + 2 + 1
 7x + 2 = -X 
0 V2
-X > 0 X + 2 = X2
X < 0
X2 - X - 2 = 0
o X = -1 (nhận). Vậy s = Ị-1Ị.
X + 2 > 0
X2 + 5 = X + 2 
X > -2
2x2 + 5 = (x + 2)2	[x2 - 4x + 1 = 0
Vậy s = (2 - 73 ; 2 + 70 I.
X = 2 ± 73
d) 7ếx2 + 2x + 10 = 3x + 1	 <;
3x + 1 > 0 2
4x2 + 2x + 10 =(3x + l)
o X = 1. Vậy s = (1|.
1
x >
3
5x2 + 4x - 9 = 0
8. Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1 )x + 3m - 5 = 0.
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Ố^Ịiải
Ta có A' - (m + l)2 - 3(3m - 5) = m2 - 7m + 16 = f m -	+ — > 0; Vm
l 2/	4
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
X1 + x2 =
2m + 2
Theo đề bài và định lí Vi-ét ta có: •
Xj = 3x2
3m - 5
X1X2 =	O
(1)
(2)
(3)
m.'í/n..xzoi	 m + 1	m + 1
Từ (1) và (2) suy ra Xi = —-— ; x2 = ———
Thay Xi, x2 vào (3) ta được:
(m +.1)2 = 4(3m - 5) m2 - 10m + 21 = 0 
Với m = 3 ta có phương trình 3x2 - 8x + 4 = 0 
x = 2 2
X = —
3
s = 2;
Với m = 7 ta có phương trình 3x2 - 16x +16 -0«
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Giải và biện luận các phương trình sau:
s= 4;
Oi I 00	Tí* I co
b) mx + 2(x - m) = (m + 1) + 3;
m2x + 1 = mx + m;
a(ax + 2b2) - a2 = b2(x + a).
Định a, b để phương trình có tập nghiêm là R:
a(3x - 1) + b(6x + 1) = 2x + 2
'Đáp a = -	; b = ậ .
r	9	9
Định m để phương trình sau có nghiệm dương: m2(x - 1) - 4x - 3m + 2. 'Đáp so: m 1.
Cho tam giác có ba cạnh a, b, c. Chứng minh phương trinh sau vô nghiệm:
b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + e2 = 0
-Hướng ìẫn: A = (a + b + c)(b + c - a)(b + a - c)(b - c - a) < 0
Chứng minh rằng phương trình:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) - 0 luôn có nghiêm.
-Hướng ỉẫn: Biên đổi phương trình về dạng:
3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0
A' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = — [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] > 0.
2
Cho phương trình X2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0. Định m để phương trình:
Có hai nghiệm trái dấu;	b) Có hai nghiệm dương phân biệt;
c) Có đúng một nghiệm dương.
^ỉ)áf> iế: a) m 3;	c) rạ = 3 hoặc m < - 1.
Cho phương trình 2x2 + (2m - 1 )x + m - 1 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt X,, x2 thỏa 3Xì - 4x2 = 11.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đểu âm.
Tìm một hệ thức giữa x4, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô’ m:
a) m*-m/1=3(1); x + 2
c,£z£! + iLl=2(3);
X -1 X -m 9. Giải phương trình:
a) (x + 5)(2 - X) = 3yjx2 + 3x ; c) Vx2 -3x + 3 + ựx2 -3x + 6 = 3.
b)
d)
X -m x+m x+3
b) 1 + j Vx - X2 = Vx + ựl-X ; 3