Giải toán 10 Bài 1. Cung và góc lượng giác

§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiểu ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB .
Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDI. Một điểm M chuyển động trên đường
tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí
3. Đường tròn lượng giác
y
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
B(0; 1)
đường tròn lượng giác là
đường tròn định hướng tâm 0	/
bán kính R = 1.	/
\\
A'(-1; 0) Ị
ỊA(1;0)~
\ °
/ x
B'(0;-1)
Độ và rađian
Đơn vị rađian
Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
Quan hệ giữa độ và radian
-0 n	<180?
1° = -?-rad và 1 rad = ——
180	V 71 )
Với 71 ~ 3,14 thi 1° « 0,01745 rad và 1 rad = 57°17'45”.
Bảng chuyển đổi thông dụng
Độ
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
Radian
71
7Ĩ
71
71
2ĩt
371
571
71
6
4
3
2
3
4
6
d) Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là 71 rad và có độ dài là 7iR. Vậy
Cung có số đo là a rad của đường tròn bán kính R có độ dài I = Ra.
Sô đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác AM' (A * M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sô' đo của cung AM là sđ AM .
sđ AM = a + k2n, k Ẽ z
= a° + k.360°, k e z
Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô' đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có sô' đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM - a.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trưởng hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trưởng hợp này xảy ra?
íTj’đ’ Lời: Các điểm cuối trùng nhau khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2ti.
c) -25°;
d) -125°45'.
Đổi số đo của các góc sau đây ra radian a) 18°;	b) 57°30’;
tsỊiải
Ta có: 1° « 0,01745
18° « 18.0,01745 « 0,3142 rad
57°30' « 57,5.0,01745 « 1,0036 rad
-25° « -25.0,01745 « -0,4363 rad
-125°45' « -125,75.0,01745 « -2,1948 rad.
3. Đổi các sô’ đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây
c) -2;
a)Ẫ;
b)
16
d)í
Ốịiải
a)
180u
18 18
= 10°
->0
b)^ = ^-=33°45' 16 16
c) -2 = -2
180°
114°35'30"
3	3 180
42°58'19"
4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tim độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo:
a)
b) 1,5;
c) 37°.
ốjiàl
Áp dụng công thức 1 = R.a
a) 1 = 20.-ị* 4,19cm;
15
b) 1 = 20.1,5 = 30cm
c) a = 37° = 37.0,01745 « 0,65 rad => 1 = 20.0,65 = 12,91 cm. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo
b) 135°;
a) Cung -
571
ốýiái
là AM (M là trung điểm
4
của A'B).
Cung 135° cũng là cung AM ở trên. A
Cung là ẤN (với AN = |ẤB')
3	3
Cung -225° cũng là cung AN ở trên.
1071
6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có sô’ đo tương ứng là (trong đỏ k là một số nguyên tuỳ ỷ).
a) kỉt;
b) k|;
7.
Ố^iải
Cung AM có sô' đo là kĩi (k e Z) thì
điểm M trùng với A (nếu k chẵn) hoặc trùng với A' (nếu k lẻ).
Cung AM có số đo (k e Z) thì
điểm M trùng với A nếu k = 4n, n e Z; M trùng với B nếu k = 4n + 1; M trùng với A' nếu k = 4n + 2; M trùng với B' nếu k = 4n + 3, n e z.
Cung AM có sô' đo (k e Z) thì 3
điểm M trùng với A nếu k = 6n (n e Z);
M trùng với M] nếu k = 6n + 1; M trùng với Mọ nếu k = 6n + 2; M trùng với A' nếu k = 6n + 3; M trùng với M3 nếu k = 6n + 4; M trùng với M., nếu k = 6n + 5.
Trên đường tròn Lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = a (0 <a < ^). Gọi M,, M2, M3
lần lượtlà điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc toạ độ. Tìm số đo của các cung am', AIM,, AIM,.
sđAM = a ^0 < a < suy ra
sđAM, = -a + k27t, k e z sđAM, = 7t - a + k27t, k e z sđAM:ỉ = a + 71 + k27t, k e z
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
a) Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo rađian (chính xác đến hàng phần nghìn) 21°30' và 75°54'.
Đổi sô' đo rađian của các cung tròn sau ra số đo độ (chính xác đến 2
phút): 2,5 rad và — rad (có thể dùng máy tính bỏ túi).
71
1 Otĩ
3
. 22n	.
và thì có
3
Chứng minh rằng:
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là
cùng tia cuối.
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là 645° và -435° thì có cùng tia cuối.