Giải toán 10 Ôn tập cuối năm

ÔN TẬP CUỐI NĂM
Giả sử B = {x s RI 4 < X < 5ị
Cho phương trình: mx2 - 2x - 4m - 1 =0
Chứng minh rằng với mọi giá trị m * 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Tìm giá trị của m để -1 là một nghiệm của phương trinh. Sau đó tim nghiệm còn lại.
Ốjiải
Với m * 0 ta có A’ = 1 + m(4m +1) = 4m2 + m + 1 > 0, Vm Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
X - -1 là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi
m + 2 - 4m -l = 0m = Ị.
3
lọ	7
Khi đó phương trình A. X2 - 2x -	= 0 
3	3
Nghiệm còn lại là x2 = 7.
Cho phương trình: X2 - 4mx + 9(m - 1)2 = 0
Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm.
Giả sử Xi, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tim một hệ thức giữa X, và x2 không phụ thuộc vào m.
Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.
ốjiảl
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
A' = 4m2 - 9(m - l)2 = (5m - 3)(3 -m)>0o|<m<3 5
s = Xi + x2 = 4m (1)
p = X1X2 = 9(m - l)2 (2)
X. + X
Đây là hệ thức giữa Xi và x2 không phụ thuộc vào m.
m = 1 13
m = —
Ta có: 4 = I Xi - x21 16 = (Xj + x2)2 - 4x,x2
o 16 = 16m2 - 36 (m - l)2 o 5m2 - 18m + 13 = 0 
Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 5(x - 1) 0;
X5 + y5 - x“y - xy“ > 0 , biết rằng X + y > 0;
\/4a +1 + \'4b + 1 + \IAc + 1 < 5 ,
Biết rằng a, b, c cùng lớn hơn - 4 và a + b + c = 1.
4
Với X > 1 ta có X5 - 1 - 5 (x - 1) = (x - l)(x4 + X3 + X2 + X + 1 -5) > 0 do đó xn - 1 > 5(x - 1)
5x4 (x - 1) - (x5 - 1) = (x - 1) [4x4 - (x3 + X2 + X +1) J > 0 do đó 5x4 (x - 1) > X5 - 1 .
Vì A = X5 + y5 - x4y -xy4 = X5 - x4y + y5 - xy4
= (x - y)(x4 - y4) = (x - y)2(x + y)(x2 + y2) nên A > 0 nếu X + y > 0.
Với a>-4,b>- — ,c>- —, ta có:
4	4
\/4a + 1 + ự4b + 1 + ự4c + 1 < \/4a2 + 4a + 1 + ự4b2 + 4b + 1 + 74c2 + 4c + 1 Với a + b + c = 1, ta có
\/4a2 + 4a + 1 + V4b2 + 4b + 1 + v/4c2 + 4c + 1
= (2a + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) = 2(a + b + c) + 3 = 5.
Vậy \/4a + 1 + ự4b + 1 + V4c + 1 < 5 .
ị X + 3y + 2z = 1
Giải hệ phương trinh sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác •( 3x + 5y - z = 9
[5x-2y-3z = -3.
Đưa về hệ phương trình dạng tam giác
X + 3y + 2z = 1
X + 3y + 2z = 1
3x + 5y - z = 9	 ■
-4y - 7z = 6	o -
5x - 2y - 3z = -3.
-17y - 13z = -8
X + 3y + 2z = 1 -4y - 7z = 6 -67z=134
Giải phương trình cuổì ta được z = -2. Thay z = -2 vào phương trình thứ hai ta có -4y + 14 = 6 ọ V = 2
Thay z = - 2, y = 2 vào phương trình đầu và giải ra ta được X = -1.
Vậy nghiệm của hệ là
X = -1
y = 2 z = -2.
a) Xét dấu biểu thức: f(x) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1).
Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ toạ độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau'
y = 2x(x + 2) (Ci) y=(x + 2)(x+1) (C2).
Tính toạ độ các giao điểm A và B của (C,) và (C2).
Tính các hệ sô’ a, b, c dể hàm số: y = ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị cùa nó đi qua A và B.
ốjiài
1) = (x + 2)(x - 1)
1	+x
-2
a) fix) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1) = (x + 2)(2x - X
f(x) = (x + 2)(x - 1)	+0
b) Bảng biến thiên: y = 2x(x + 2) = 2x2 + 4x
X	-oc	-1
+cc
Toạ độ cúa giao điếm A và B của (Ci) và (C2) là nghiệm phương trình: 2x(x + 2) = (x + 2)(x +1)	 2x2 + 4x = X2 + 3x + 2
'x = 1
-2.
x2 + x- 2 = 0
Từ đó suy ra hai giao điểm là A(-2; 0), B(l; 6).
Gọi (./) là đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c
A r. _ , Í4a -2b + c'= 0	ía = b - 2 (1)
[a + b + c = 6	[c = 8-2b (2)
y = ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8.
Để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua A và B ta phải có a < 0
a < 0
--^- = 8	|4ac-b2=32a (3)
4a
Thay (1), (2) vào (3) ta được 9b2 - 16b = 0 
b = 0 16
Với b = 0 thì a = -2, c - 8.
Với b = thìa = - 77, c = -77-. 9	9	9
a)
1-2sin2a _ 1 - tan a 1 + sin2a 1 + tana'
. sin4 a - COS4 a + COS2 a 	2 a
c) 	"	.	= cos" 7 :
2(1-cosa)	2
b)
d)
sina + sin3a + sin5a
cos a + COS 3a + COS 5a
tan2x.tanx
= tan 3a ;
tan2x - tanx
■ = sin2x.
Chứng minh các hệ thức sau
ỐịiÀl
a)
1-2 sin2 a _ cos2 a - sill2 a _ COS a - sin a _ 1 - tan a 1 +sin 2a (cos a + sin a)2 cos a + sin a 1 + tana
, , sin a + sin 3a + sin 5a 2 sin 3a cos 2a + sin 3a sin 3a (2 COS 2a +1)	
b) 	—7-	77- = 77	——	—7-	=	7-777-—-——V = tan 3a
cos a + cos 3a + cos 5a 2 cos 3a COS 2a + cos 3a cos3a(2cos2a +1)
c)
sin4 a - cos4 a + cos2 a sin2 a - COS2 a + COS2 a
. . 2 a	2
4 sin —cos —
d)
2(1 - cos a)
tan 2x tan x sin 2x sin X
. „:„2 a 4 sin —
A „:„2 a 4 sin 7-
— = cos2
to I to
cos 2x cos X
tan 2x - tan X COS 2x cos X sin 2x cos X - cos 2x sin X sin 2x sin X
sin(2x - x)
= sin2x
8. Rút gọn các biểu thức sau a) ị-7 ,n4.a cos^a • 1 + Cos4a * Sin4a
1 + cos 4a + sin 4a 1 + 2 COS2 2a -1 + 2 sin 2a COS 2a
2 sin 2a(cos2a + sin 2a)
= 	7——— = tan 2a .
2 cos 2a(cos 2a + sin 2a)
1 . nnc o	o	2 COS2
1 + cosa A 2 a 9	2.	9 a 2	-	2	-2
	.tan — - cos a =	7-tan — -cos a = 1 - COS a = sin a
1-cosa 2	„.9 a 2
2 sin 77 2
, cos2x - sin4x - cos6x 2sin4xsin2x -sin4x
~—-—7-	T- = 7——-—7—7-	7——
cos 2x + sin 4x - cos 6x 2 sin 4x sin 2x + sin 4x
I sin 2x - 4 |sin4x .	.
_	2 J	_ sin 2x - sin 30°
= [sin2x + |jsin4x = sin2x+sin30°
2cos(x + 15°)sin(x - 15°)	1c0x
= ——	-77—	77- = tan(x - 15 )cot(x + 15 )
2sin(x + 15°)cos(x -15°)
Tính: a) 4(cos24° + cos48° - cos84° - cos12°);
9673sin-i-cos-^-cos^-cos-i-cos^;
48	48	24	12	6
tan9° - tan63° + tan81° - tan27°.
4(cos24° + cos48° -COS84° -cos 12°) = 4(2 sin 54° sin 30° - 2 sin 30° sin 18°)
= 4(sin54° - sin 18°) = 8 COS 36° sin 18°
= 8 sin 18° COS 18° COS 36° = 4 sin 36° COS 36° _ 2 cos 18°	sin 72°
96 V3 sin 7^7 cos -^7 COS 7^7 cos ~ COS 4	= 48^3 sin t4-COS 7^7 cos 7^7 COS 4
48	48 24 12 6	24 24	12	6
= 24\/3 sin 7^7 COS 7^7 COS 4	= 12\/3 sin 4 COS 4	= 6\/3sin4 = 9.
12	12	6	6 6	3
. n0 4„„co0 , oil) 4. O-7Ù sin9° cos9° fsin27° cos27°i
cos 9° sin 9°	COS27° sin 27° , •
=	1	1	2	2	4 cos 36° sin 18°
sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° sin 18° sin 54°	sin 18° sin 54°
-in _ ..	 	X	2x	4x	8x
Rút gọn a) COS "cos COS—COS ;
5	5	5	5
UK X 3x . 5x b) sin^t2sin-^- + sin-^-
7	7	7
, .	X	.2x 4x 8x
a) A = cos — cos —- cos —- COS —
5	5	5	5
„ . X .	- , X X 2x 4x 8x . 2x 2x	4x	8x
=> 2 sill — A = 2 sin — cos — COS —1 COS —1 COS —— = sin —-- COS —— cos —— COS -—
5	5
8x
1	8x
= —sill—1 cos
4	5	5
= - sin 8
5
16x
. Suy ra: A =
sin
5 16x
16 sin
5
, .	. X	„ . 3x	. 5x	„ . 3x	2x	„ . 3x
b) sin11 + 2sin —1 + sin —1 = 2sin—1COS—1 + 2sin—1
7	7	7	7	7	7
. 3xf = 2sin-£- 7 I
_ 2x a. 1
cos —1 + 1
7
. . 3x 2X 4 sill—1 COS —
7	7
11. Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có
tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ị Â, B, Ô cùng khác I j .
sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
tjkii
a) tan(A + B) =
tan A + tan B
- tan c =
tan A + tan B
1 - tan A tan B	1 - tan A tan B
=> tan A tan B tan c - tan c = tan A + tan B
=> tan A + tan B + tan c = tan A tan B tan c
b) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B) cos(A - B) + 2 sin c COS c
= 2 sin C[cos(A - B) + COS C] = 2sinC[cos(A - B) - cos(A + B)]
= 4sinC[-sinA.sin(-B)] = 4sinAsinBsinC.
	, ,	, .. . us..	sin40°-sin45°+sin50°	6(73+3tan15°)
12. Không sử dụng máy tính, hày tinh 	———	 - —	-!=———1.
cos40°-cos45°+COS500	3-Ợ3tan15°
éỹiải
sin 40° - sin 45° + sin 50°	6(73 + 3 tan 15°)
(sin 40° + sin 50°
- sin 45°	6
—— + tanl5u
k3	i
(cos40° + cos 50°
-cos 45°
cos 40° - cos 45° + cos 50°	3-73 tan 15°
2 sin 45° cos 5° - sin 45° 6(tan 30° + tan 15°) 2 cos 45° cos 5° - COS 45°	1 - tan 30° tan 15°
sin 45° (2 COS 5° -l)
cos 45° (2 cos 5° -l)
- 6tan(30° + 15°) = tan45° - 6 tan45° = -5.
ốjlảl