Giải toán 10 Bài 1. Mệnh đề

§1. MỆNH ĐÊ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Mệnh đề là một phát biểu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Phủ định của một mệnh đề
Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh để p là P, ta có: p đúng khi p sai.
P sai khi p đúng.
Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu p thl Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là p => Q. Mệnh đề p => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ p suy ra Q”. Mệnh đề p => Q chỉ sai khi p đúng mà Q sai.
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng p => Q. Khi đó ta nói: p là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc
p là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điểu kiện cần để có p.
Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề Q =$ p được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề p => Q.
Nếu cả hai mệnh đề p => Q và Q => p đều đúng ta nói p và Q là hai mệnh đề tương đương.
Khi đó ta kí hiệu p o Q và đọc là p tương đương Q, hoặc p là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc p khi và chỉ khi Q.
Kí hiệu V và 3
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với X e X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "Vx e X, P(x)" là: “3x e X, p(x)".
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với X Ẽ X. Mệnh đề phủ định của mạnh đề "3x e X, P(x)" là: "Vx e X, p(x)".
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đế chứa biến?
3 + 2 = 7;	b)4 + x = 3;	c)x + y>1;	d) 2 - /5 < 0
lời
Câu a) và đ) là mệnh đề;
Câu b) và c) là mệnh đề chứa biến.
Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ. định của nó.
1794 chia hết cho 3; c) Jt < 3,15;
72 là một sô' hữu tỉ; d) 1-1251 <0.
ốịíảl
"1794 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng; mệnh đề phủ định là “1794 không chia hết cho 3”.
“ \Í2 là một số hữu tỉ” là mệnh đề sai; mệnh đề phủ định là “72 không là một số hữu tỉ”.
“tĩ 3,15”;
“1-1251 0”.
Cho các mệnh đề kéo theo.
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những sổ nguyên).
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đểu chia hết cho 5.
Tam giác càn có hai trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
Hãy phát biểu mệnh để đảo của mồi mệnh đề trên.
Phát biểu mồi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm ‘‘điều kiện đủ”.
Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần".
Các mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên là:
Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c.
Các số chia hết cho 5 đều có tận cùng bằng 0.
Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.
Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau.
Sử dụng khái niệm "điều kiện đủ"
Điều kiện đủ để a + b chia hết cho c là a và b chia hết cho c.
Điều kiện đủ để một sô' chia hết cho 5 là số đó có tận cùng bằng 0. Điều kiện đủ để một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đó cân.
Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau.
Sử dụng khái niệm "điều kiện cần"
Điều kiện cần để a và b chia hết cho c là a + b chia hết cho c.
Điều kiện cần để một số có tận cùng bằng 0 là số đó chia hết cho 5. Điều kiện cần để một tam giác là tam giác cân là hai đường trung tuyến của nó bằng nhau.
Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau.
Phát biểu mồi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ"
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
Một hình binh hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Ốịiải
Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ sô' của nó chia hết cho 9.
Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.
Dùng kí hiệu V, 3 để viết các mệnh để sau
Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;	b) Có một sô' cộng với chinh nó bằng 0;
Mọi sô' cộng với số đối của nó đều bằng 0.
ố^Ịiải
Vxe R : x.l = X ; b) 3xg K: X + X = 0; c) Vxe R : x + (-x) = 0 .
Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tinh đúng sai của nó
a) Vx e R : X2 > 0;	b)3neN:n2=n;	c) Vn e N;n'< 2n ; d) 3x e R:x <.
ốỊiài
Bình phương của mọi số thực đều dương (mệnh đề sai, vì với X = 0: o2 = 0).
Tồn tại sô' tự nhiên n mà bình phương của nó lại bằng chính nó (mệnh đề đúng, chẳng hạn n - 0).
Mọi sô' tự nhiên n đều không vượt quá hai lần nó (mệnh đề đúng).
Tồn tại số thực X nhỏ hơn nghịch đảo của nó (mệnh đề đúng, chẳng hạn X = 0,5).
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh dế sau và xét tính đúng sai của nó
a) VneN : n chia hết cho n;	b) 3x eQ ; X2 = 2;
c) VXe R : X < X + 1;	d) 3x e R : 3x = X2 + 1.
ốịiải
3n 6 N : n không chia hết cho n. Mệnh đề này đúng, đó là sô' 0;
Vx 6 Q: X2 * 2. Mệnh đề đúng.
3xeR:x>x + l: Mệnh đề sai. (vì x>x+10>1)
Vx e R :3x ị X2 + ] . Mệnh đề này sai vì phương trình X" - 3x + 1 = 0 có nghiệm.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh để, câu nào không là mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì cho biết nó đúng hay sai?
Hãy im lặng!	b) 7 < 5
11 là một sô chẵn.	d) 1 là số nguyên tố.
Phủ định các mệnh đề sau:
3 là một số nguyên tố; b) 3x e Q: 4x2 - 1 = 0; c) Vn e N: n2 > n. Cho biết tính đúng sai của các mệnh đề phủ định.
Cho mệnh đề chứa biến: P(n): "3n + 3 là một số lẻ".
Xét P(3) và P(4) đúng hay sai.
Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện "cần và đủ" để phát biểu gộp lại cả hai định li thuận và đảo:
Nếu m, n là hai số nguyên dương và mỗi số đểu chia hết cho 3 thì tổng m2 + n2 cũng chia hết cho 3.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh để phủ định của chúng:
Vx e R: X < X2
Vn e N: n2 + 1 không chia hết cho 3
3r e Q: r2 = 3
3r e N: n2 + 1 chia hết cho 8.