Giải toán 10 Ôn tập chương IV

ÔN TẬP CHƯƠNG IV
1. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau:
a) X là sô' dương;	b) y là số không âm;
Với mọi số thực a, lal là số không âm;
Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung binh nhân của chúng.
 0;	b) y > 0;
lal > 0, Va e R;	d) > Tab , Va > 0, vb > 0
2
Có thể rút ra kết luận gì vể dấu của hai số a và b biết
ÍT>V? Lồi: a) a, b cùng dấu; c) a, b trái dâu;
Trong các suy luận sau, suy luận nào dùng? ix<1
ly <1
b) a, b cùng dấu; d) a, b trái dấu.
(A)
(B)
[x <1 X .
5	=>-<1;
[y<1 y
(C)
Jo<x<1 1 y<i
=> xy < 1;
íx<1
(D)	" =>*-y<1-
[y<1
Lồi: (C) đúng vì nếu y < 0 thì xy < 0 < 1, còn nếu 0 < y < 1 thì xy < 1.
4. Khi cân một vật với độ chính xác 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.
Lởi: Gọi p là khôi lượng thực của vật. Ta có 26,35 < p < 26,45.
a) ab > 0;	b)^>0;	c) ab < 0;
5. Trên cùng một mật phẳng toạ độ, hãy vẽ đổ thị hai hàm số y = f(x) = X + 1 và y = g(x) = 3 - X và chỉ ra các giá trị nào của X thoả mãn: a)f(x) = g(x);	b) f(x) > g(x);
Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trinh, bất phương trình.
ố^lảl
f(x) = g(x) X = 1
f(x) > g(x) X > 1
f(x) X < 1 Kiểm tra lại:
f(x) = g(x) x+l = 3- x
o 2x = 2 o X = 1
f(x) > g(x) x+l>3-x
2x>2x>l
c) f(x) < g(x).
c) f(x) x+l2xx<l rằng: - ốịiải
J I b I c c I 3
6. Cho a, b, c là các sô' dương. Chứng minh rằng: ——- + —-— + —— > 6 .
c a b
Ta có:
a+b b+c c+a —-— + —■— + —■—
a	b	b	c	c	a
c	c	a	a	b	b
HHH
c a He b I I a b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
a+£>2./*.£ = 2
Tương tự:
Từ đó suy ra:
b	c	_ „	,	b	a	_ -
— +	7-	>2	và	—	+ 7-	>2
c	b	a	b
a+b b+c c+a —-— + —;— + ■
c a b Dấu bằng xảy ra khi a = b - c.
c aj le by la b
7. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: ~	> Vã + Vb .
Vb Va
óịiải
Xét hiệu:	+-7= - ÍTã + 7b) =
7b Ta	1
(Tã)3+(Tb)3-Tãb(Tã+Tb)
(7ã+7b)(a + b-27ãb)	(7ã + 7b)(7a-7b)
Tab
=> VL + jL>n + 7b..
7b 77
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b đều dương và a = b.
8. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) hãy xét dấu
f(x) = X4 - X2 + 6x - 9 và g(x) = X2 - 2x -	4	- .
X2 -2x
b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình: x(x3 - X + 6) > 9.
tyjiai
f(x) = X4 - (x - 3)2 = (x2 + X - 3)(x2 - X + 3).
Vì X2 - X + 3 > 0, Vx nên fíx) luôn cùng đấu với dấu của tam thức X2 + X - 3.
YA+	„	„_-l±7Ĩ3
Xét dau: X + X - 3 X = —-—
2
X
-1-7Ĩ3
-1 + 7Ĩ3
2
2
f(x)
+ 0
- 0 +
(x2-2x)2-4	(x2 -2x + 2)(x2 -2x-2)
Tương tự, vì g(x) = 4	—	5^-	-
X2 - 2x	X2 - 2x
và X2 - 2x + 2 > 0, Vx e R
o	2x	2
nên g(x) luôn cùng dấu với dâu của biểu thức Z——	. Do đó
X2 - 2x
X
—00
1-73	0
2	1+73
+00
X2 - 2x - 2
+
0
- 0
+
X2 - 2x
+
+ 0
- 0 +
+
g(x)
+
0
+ 1-0
+
b) x(x3 -X + 6) > 9	 X4 - X2 + 6x -9 > 0 X4 - (x - 3)2 > 0
 (x2 - X + 3)(x2 + x- 3)>0«x2 + x- 3>0
. _ -1-7Ĩ3	-1 + 7Ĩ3
 X 	—-—.
2 2
Nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là X nguyên nhỏ hơn hoặc bằng -3 hoặc X nguyên lớn hơn hoặc bằng 2.
9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, sử dụng định lí vể dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0, Vx.
óịiảí
Xét f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2) X + c2 Ta có: A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
= (b2 + c2 - a2 + 2bc)(b2 + c2 - a2 - 2bc)
= [ (b + c)2 - a2][(b - c)2 - a2]
= (b + c + a)(b + c - a)(b -c + a)(b -c - a)
= -(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(c + a - b) < 0
(vì a, b, c là ba cạnh một tam giác nên a, b, c dương và tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba). Do đó f(x) > 0, Vx.
10. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bặc nhất hai ẩn
3x + y > 9 X > y-3 2y > 8 - X y <6.
-Hướng ỉẫn
Vẽ các đường thẳng: 3x + y = 9, X = y - 3, 2y = 8 -X, y = 6 rồi lấy toạ độ của O(0;0) thế vào phương trình mỗi đường thẳng. Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình. Giao của các miền nghiệm này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
BAI TẶP TRẢC NGHIÊM
Chọn phương án đúng trong các bài tập sau
Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình:
2x + 1 > 1 - x;	(B)(2x + 1)(1 - x) < X2;
(C)^- + 2<0;	(D) (2-x)(x+ 2)2 < 0.
r£»‘đ Z?Z; Lần lượt thay X = -2 vào các bất phương trình thì X = -2 thỏa
. Chọn (B).
Bất phương trình (x + 1)7x <0 tương đương với bất phương trình
(A) ựx(x + 1)2 <0;	(B) (x + 1)7x <0;
(x + 1)27x <0;	(D) (x + 1)27x <0.
<Tjv? lởl: Hai bất phương trình (x + l)Vx < 0 và (x + l)2 \/x < 0 có cùng tập nghiệm s = (0Ị. Chọn (C).
Bất phương trình mx2 + (2m - 1)x + m + 1 <0có nghiệm khi
(A)m = 1;	(B) m = 3;	(C) m = 0;	(D) m = 0,25.
Lừi: Với m = 0, ta có: -X + 1 1. Chọn (C).
X -4>0
Hệ bất phương trình sau vô nghiệm
(A)
(C)
(B)
(D)
X + 2 x +1 |x-1|<2 |2x + 1|<3.
x2-2x<0 2x + 1 < 3x + 2 ’
X -5x + 2 < 0 X2 + 8x +1 < 0