Giải toán 10 Bài 3. Dấu của nhị thức bậc nhất

§3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHAT
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với X là biểu thức dạng f(x) = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho, a * 0.
Dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng ;+»y trái dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng f-oo;-—1.
Ta có bảng:
X
b
-00 	
a
+00
f(x) = ax+b
trái dấu với a	0	cùng dâu với a
3. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
ở đây, ta chỉ xét các bất phương trình có thể đưa về một trong các dạng
 ° ’ tron9 đó P(x) và Q(x) 'à tích của
Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)	y v '
những nhị thức bậc nhất. Để giải các bất phương trình như vậy, ta lập bảng
P(x)	,	. ,	.. ...	. , i.	....
xép dấu của phân thức • Khi !ập bảng xét dấu, nhớ răng phải ghi tât
cả các nghiệm của hai đa thức P(x) và Q(x) lên trục số. Trong hàng cuối, tại những điểm mà Q(x) = 0, ta dùng kí hiệu I I để chỉ tại đó bất phương trình đã cho không xác định.
4. Giải phương trình, bất phương trình chứa dâu giá trị tuyệt đôi
Cách 1: Một trong những cách giải bất phương trình hay bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét phương trình hay bất phương trình trong nhiều khoảng (đoạn, nửa khoảng) khác nhau, trên đó mỗi biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.
Cách 2: Sử dụng biến đổi tương đương: ÍB>0
IAI = B 
IAI > B 
A = ±B
A >B A <-B
IAI -B < A < B
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Xét dấu các biểu thức
a) f(x) = (2x - 1)(x + 3);
c) t(x)= ~~4	;
3x +1 2-x
b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3); d) f(x) = 4x2-1.
a) 2x-l = 0x=i;x + 3 = 0ox = -3
2
Bảng xét dấu
X
—00
-3
1
2
+00
2x -1
-
-
0
+
X + 3
-
0
+
+
f[x)
+
0
-
0
+
b) -3x - 3 = 0 X = -1; x+2=0ox= -2; x + 3 = 0x = -3
Bảng xét dấu
X
—X
-3	-ỉ
ỉ	-1
+00
-3x - 3
+
+
+ 0
-
X + 2
-
0 +
+
X + 3
-
0 +
+
+
f(x)
+
0-0+0
-
c) f(x) ,-4(2-x)-3(3x + l) -5X-11
(3x + l)(2-x)	(3x + l)(2-x)
Bảng xét dấu
X
—X
11
5
1
3
2
+00
-5x - 11
+
0
—
-
-
3x + 1
-
0
+
+
2 - X
+
+
+ 0
fix)
-
0
+ II
- II
+
d) f(x) = 4x2 - 1 - (2x -l)(2x + 1) Bảng xét dâu
X
—X
1
2
1
2
+00
2x -1
-
0
+
2x + 1
-
0
+
+
fix)
+
0
0
+
2. Giải các bất phương trình:	a) —g— < 5 . ;	b) —!—<——— ;
X -1 2x -1	X +1 (x -1)2
. 1 ,	2	3	.. x2-3x + 1	.
a) Ta có: —-— <
X2 — 1
X - 1 2x - 1 X - 1 2x - 1
.	-*+3 so
(x-l)(2x-l)
4x - 2 - 5x + 5 ~ (x-l)(2x-l)
Tập nghiệm bất phương trình là: s = ( ^ ; 1) u [3; +ao) 2
1	Ị_
X + 1 (x - l)2
x + l (x-1)2
X2 -3x
(x-l)2(x + l)
■ 
(x-ir
(x-l)2(x + l)
x(x - 3)
(x-l)2(x + l)
Bảng xét dấu
X
—X
1
2
1
3
+00
-X + 3
+
+
+
(
X - 1
-
-
0
+
+
2x - 1
0
+
+
+
-X + 3
+
c
(x-l)(2x-l)
-
+
Bảng xét c
X
ấu
1
3
+00
-00 -1
0
X
-
-
0
+
+
+
X - 3
-
-
-
-
0
+
(X - l)2
+
+
+
)
+
+
X + 1
0
+
+
+
+
x(x - 3)
-
(x-l)2(x + l)
+
u
u
+ . ..
Tập nghiệm bất phương trình là: s = (-»; -1) u (0; 1) Ư (1; 3).
. 1	2	3	_ í	,	2	3	.
X	x + 4	x + 3 X x + 4	X + 3
o (x + 4)(x + 3) + 2x(x + 3) - 3x(x + 4) < 0	X + 12	< 0
x(x + 3)(x + 4)	x(x + 3)(x + 4)
X + 12
+
+
+
+
X
-
-
-
0 +
X + 3
-
-
- 0 +
+
X + 4
-
- 0 +
+
+
X +12
x(x + 3)(x + 4)
+
)
+
-
+
Bảng xét dấu
-12
-3
+«
Tập nghiệm bâ't phương trình là: s = (-12; -4) u (-3; 0).
Bảng xét dâu
X
- 2
-00	-1	—	1	+SO
3
-3x + 2
+
+
0
X - 1
-
0
+
X + 1
0 +
+
+
-3x + 2
x2-l
+
0
+
-
d)
xz - 3x + 1	. X2 - 3x + 1
x2-l
x2-l
-1 
-3x + 2
(x-l)(x + l)
Tập nghiệm bất phương trình là: s = (-1; -|) u (1; +oo).
3
3. Giải các bất phương trình a)l5x-4|>6;
a) Ta có: I 5x - 4 I >6 
5x - 4 > 6
5x - 4 < -6
X > 2
2
X < —9 5
b)
10
x-1
Vậy: s = (-oo; -± ] u [2; +oo). 5
b)
-5
10
x-1
o —< —2-- (1)
|x + 2| |x - l|
Điều kiện: x*-2 vàx* 1.
Tacó(l) IX - 11 < 2 I X + 21 -» (x - l)2 - 4(x + 2)2 < 0
 (x - 1 - 2x - 4)(x -l + 2x + 4) (—X - 5)(3x + 3) (x + 5)(3x + 3) > 0
Bảng xét dấu:
X
—00
-5
-1
+00
X + 5
0
+
+
3x + 3
-
0
+
(x + 5)(3x + 3)
+
0
- °
+
s = (-ao; -5) u (-1; + oc) \ 11} = (-ao; -5) u (-1; 1) u (1; +oo)
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Xét dấu các biểu thức sau:
a) (5 - 3x)(2x + 1);
b)
7-4x
c) (X2- 1)(1 - 3x);
2x + 1
2. Phân tích thành nhân tử rồi xét dấu đa thức sau:
d) 3-
x + 2 3x-1
a) 4 - 25x2:
3. Xét dấu biểu thức:
a)
X -6x + 5
b) -X3 + 7x - 6;
1 1
X2 -6x + 8 ’
4. Giải các bất phương trình:
2x-1 x + 1 a)
b)
x + 2 2x + 1
c) X2 - X - 2 72 ,
|x| — 2 c)
x + 1	2x-1
c) I3x - 5I < 3;
b) Ix + 21 + Ix - 11 >5; d) lx-21 >2x- 3.