Giải bài tập Toán 9 Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

s§2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT hai Ẩn
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
F?ĩ| Kiểm tra rằng cặp số (x;y) = (2;-l) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất (2x + y = 3) vừa là nghiệm của phương trình thứ hai (X - 2y ■= 4 ).
Hướng dẫn
Thay X = 2 và y = -1 vào phương trình 2x + y = 3, ta có:
2.2 + (-1) = 3 (đúng);
Thay X = 2 và y = -1 vào phương trình X - 2y = 4 , ta có:
2-2(-l) = 4 (đúng);
Chứng tỏ cặp số (x;y) = (2;-l) vừa là nghiệm của phương trình 2x + y = 3 vừa là nghiệm của phương trình X - 2y - 4 .
?2 Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (...) trong câu sau:
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = cthì tọa độ (x0;y0)của điểm M là một	của phương trình ax + by = c.
Hướng dan
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c.thì tọa độ (x0;y0)của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c .
Hệ phương trình trong ví dụ 3
Ĩ2x-y = 3 "
J-2x + y = -3,
có bao nhiêu nghiệm?
Vì sao?
Hướng dẫn
Hệ phương trình trong ví dụ 3 chỉ có một nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn cho mỗi phương trình có trong hệ chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
B. GIẢI BÀI TẬP
4. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:
y = -ịx + 3
J + c)
y = X +1
2
a)
y = 3 - 2x y = 3x -1
b)
2y = -3x
3y = 2x
d)
3x - y = 3
1' -1
X - — y = 1
3
Hai đường thẳng y = 3 - 2x và y = 3x - 1 cắt nhau (a = -2 a' = 3) nên
hệ phương trình
y = 3 - 2x ,	, _ n
có nghiệm duy nhât
y = 3x -1
Hai đường thẳng y = --^x + 3 vày = --x + 1 song song nhau (a = a';
2
b * b'). Vậy hệ phương trình
y = “~x + 3
2
vô nghiêm.
y = - _ X + 1
2
c)
3 y = _~x
2
2
y = — X
y 3
3	2
Hai đường thẳng y = -^xvày = ^x cắt nhau (a* a')
2	3
2y = -3x	J VX-,
có nghiệm duy nhât.
3y = 2x s •
2y = -3x
3y = 2x
Vậy hệ phương trình
d)
3x-y = 3
y = 3x-3
y = 3x - 3
3x - y = 3
Vậy hệ phương trình ■
có vô số nghiệm.
5. Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học:
2x-y = l a) 1
[x-2y = -l
b)
2x + y = 4
-X + y = 1
a.) * 2x - y = 1 y = 2x - 1
Tập nghiệm của phương trình 2x - y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng (d) y = 2x - 1 qua các điểm (0; -1) và (1; 1)
* X - 2y = -! y = ~ +
2 2
Tập nghiệm của phương trình X - 2y = -1
được biểu diễn bởi đường thẳng (d') y = ■“ + 77
qua các điểm ^0; ị- I và (-1; 0)
Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau
Vậy hệ phương trình
2x - y = 1 x-2y = -l
có nghiệm duy nhất
b)*2x + y = 4y = -2x + 4
Tập nghiệm của phương trình 2x + y = 4 được biểu diễn bởi đường thẳng (d) y = -2x + 4 qua các điểm (0; 4) và (2; 0)
*-x + y=ly = x + l
Tập nghiệm của phương trình -X + y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng (d') y = X + 1 qua các điếm (0; 1) và (-1; 0) Hai dường thẳng (d) và (d') cắt nhau
X
Vậy hệ phương trình
2x + y = 4
-x + y = 1
có một nghiêm.
Hai đường thẳng y = 3x - 3 và y = 3x - 3 trùng nhau (a = a'; b = b').
Đố
Bạn Nga nhận xét: Hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương nhau.
Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vồ số nghiệm thì củng luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).
Bạn Nga nhận xét đúng, bạn Phương khẳng định sai
Vì theo định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với
nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
Vi dụ: Hai hệ phương trình (I)]y_
[y = X + 1
và (II) <	tương
[y = x-3
đương nhau vì tập nghiệm của chúng là 0.
Hệ phương trình
(I)
x + y = 1
2x + 2y = 2
có vô số nghiệm do các đường
,, ,	[y = -X + 1
thẳng r
[y = -X + 1
trùng nhau
* Hệ phương trình
(II)
Ị-x + 3y = -l
[x-3y = 1
cũng có vô số nghiệm do các
đường thẳng
X
X
1
3 trùng nhau.
3
Nhưng hệ phương trình (I) và (II) không tương đương. Thật vậy cặp số (0; Ị) là nghiệm của hệ phương trình (I) nhưng không là nghiệm của hệ phương trình (II).
c. LUYỆN TẬP
7. Cho hai phương trình 2x + y - 4 và 3x + 2y = 5
Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình.
a) 2x + y = 4 y = -2x + 4
Nghiệm tổng quát của phương trình
XỄ R
y = -2x + 4
3x + 2y = 5
xe R
Nghiệm tổng quát của phương trình
3.. . 5 y = X + —
2	2
[y = 2x + 3 
b) Tập nghiệm của phương trình 2x + y = 4 được biểu diễn bởi đường thẳng y = -2x + 4 qua các điểm (0; 4) và (2; 0)
Tập nghiệm của phương trình 3x + 2y = 5 được biểu diễn bởi đường thẳng y = - X +
2	2
qua các điểm 0; và (1; 1).
X. 2 /
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (3; -2)
Vậy nghiệm chung của hai phương trình là (xị y) = (3; -2)
8. Cho các hệ phương trình sau:
X + 3y = 2
2y = 4
b)
íx = 2 a) <!
12x - y = 3
a) (I)
íx = 2
[2x-y = 3
x = 2
y = 2x - 3
Trước hết hãy đoán nhận số nghiêm của mồi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó tìm tập nghiêm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
0
x
2--
!-■
<N
II
X
b) (II)
X + 3y = 2
2y = 4
-3
Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất vì tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng X = 2 song song với trục tung.
Tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng y = 2x - 3 không song song với trục tung do đó hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm.
Vẽ hình:
Đường thẳng y - 2x - 3 qua các điểm (0; -3) (2; 1)
Hai đường thẳng cắt nhau tại (2; 1) Nghiệm hệ phương trình là (x; y) = (2; 1)
X 2 y - „ + T
3 y = 2
Hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất vì
- Tập nghiệm biểu diễn phương trình thứ nhất là đường thẳng X 2
y = - — + không song song trục hoành
3 3
- Tập nghiệm biểu diễn phương trình thứ hai là đường thẳng y = 2 song song trục hoành
Do đó hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.
Vẽ hình:
X 2
— qua
3	3
Đường thẳng y =
các điểm
và (2; 0)
Hai đường thẳng cắt nhau tại (-4; 2)
9. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao? x + y = 2 3x + 3y = 2
a) •
b)
3x - 2y = 1
-6x + 4y = 0
a)
X + y = 2 3x + 3y = 2
giòi,
-X + 2
2
-X + —
3
b)
Các đường thẳng y =
2
-X + 2 và y = -X + — song song với nhau (a = a',
3
b * b') vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
r3x - 2y = 1
|-6x + 4y = 0
Các đường thẳng y =
..X	3
— và y = —X
2
song song
nhau (a = a';
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (-4; 2)
b * b'). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao?
a)
4x - 4y = 2 -2x + 2y - -1
b)
[x-3y = 2
y - X - — y 2
1
y = X - — V 2
4x - 4y = 2 -2x + 2y = -1
Các đường thẳng y = X - Ệ- trùng nhau.
2
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
b) J
1	2
—X - y = —
3	3
X - 3y = 2
1 __ 2 y = — X- —
3	3
1 - 2 y = — X- —
3	3
_ z , v ,,3	1	2 , ,
Các đường thắng y = 77 X - 77 trùng nhau.
3	3
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn với hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể nói hệ phương trình đó có vô số nghiệm, vì lúc đó các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trùng nhau do chúng có hai điểm chung phân biệt.