Giải bài tập Toán 9 Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

§8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIEF
ĐƯỜNG TRÒN NỘI IIEP
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
? a) Vẽ đường tròn tâm o bán kính R = 2cm;
Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nKsa^r trên đường tròn (O);
Vì sao tâm o cách đều các cạnh của lục giác đều? khoảng
cách này là r;
d) Vẽ đường tròn (O; r).
Hình vẽ:
Hường dẫn
B. GIẢI BÀI TẬP
a) Vẽ đường tròn tâm o, bán kính 2 cm.
Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (0) ở câu a).
Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
BD = AC (đường kính đường tròn (O))
AC ± BD
Vậy tứ giác BACD là hình vuông có 4 đỉnh A, B, c, D thuộc đường tròn (O) nên nội tiếp đường tròn.
Tính r.
Kẻ OH 1 AB, OH là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
(1 = HA = HB (AOAB vuông tại o, OH là trung tuyến)
Doyjj^i= OH2 + HB2 = r2 = r2 = 2r2
Suy ra 2r2 = 22 => r2 = 2 => r = 42 (cm)
Vẽ đường tròn (O; OH)
Gọi OI, OK, OL là khoảng cách từ o đến BC, CD, AD
Ta có OI = OK = OL = OH (do BC = CD = DA = AB)
Nên đường tròn (O; OH) tiếp xúc với AB, BC, CD, DA
Vậy (O; OH) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3 cm.
Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Vẽ tam giác đều ABC cạnh 3 cm.
Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC, tâm là giao điểm ba đường trung trực (đồng thời là giao điểm ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác của tam giác)
m / 1 u _ ABa/3 3V3
Ta có AH = —----- = —T-
2	2
Bán kính đường tròn (O)
R = OA = |ah = i-ivã = Vã
3	3 2
(cm).
Vẽ đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính r.
Vẽ đường tròn (O; OH), ta có
BO, CO thuộc trung trực của AC, AB nên
BO ± AC tại N, CO ± AB tại M
Lại có OM - ON = OH (do AB = AC = BC)
Nên đường tròn (O; OH) tiếp xúc với AB, AC, BC hay đường tròn (O; OH) là đường tròn nội tiếp AABC
Và bán kính đường tròn này là r = OH = 7-AH = 4 -ệ- — -ệ (cm).
s J	3	3 2	2
Vẽ AIJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Vẽ các tiếp tuyến tại A, B, c với đường tròn (O; R)
Các tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K; ta có AIJK đều, thậy vậy
IA = IB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có
IAB — ACB = 60° (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung)
Nên AIAB đều, do đó AIB = 60°	(1)
Tương tự AAJC đều, suy ra AJC = 60°	(2)
(1) và (2) cho ta AIJK là tam giác đều và đường tròn (O; R) tiếp xúc ba cạnh của AIJK. Vậy AIJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Vẽ hình lục giác đều nội tiếp (0; R). Tính cạnh lục giác đều.
Gọi a là độ dài cạnh lục giác đều ABCDEF nội tiếp (0; R), ta có AB = BC = CD = DE = EF = AF
Suy ra AB = BC = cb = DE = EF = AF
(liên hệ dây và cung)
Từ đó sdAB =	= 60°
6
Nên AOB = 60° mà OA = OB
Cách vẽ-. Vẽ đường tròn (O; R), trên đường tròn đặt liên tiếp các cung AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho dây căng cung có độ dài R. Ta được hình lục giác đều ABCDEF nội tiếp (O; R) và a = R.
Vẽ hình vuông nội tiếp (O; R). Tính cạnh hình vuông.
Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD nội tiếp (O; R), ta có: AB = BC = CD = DA
Nên ẦB = BC = CD - DA (liên hệ dây và cung)
Suy ra sđAB =
Do đó AOAB đều nên a = AB = OA = R.
3^ =90»
4
Hay ẤÕB = sđẤÌ = 90°.
Cách vẽ: Vẽ đường tròn (O; R) vẽ hai đường kính AB, CD vuông góc nhau, ta được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R).
Ta có a2 = AB2 = OA2 + OB2 = R2 + R2 = 2R2 Vậy a = R 72 .
c) Vẽ tam giác đều nội tiếp (O; R). Tính cạnh tam giác đều.
Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có:
AB = AC = BC
Nên AB = AC = BC
Suy ra sdAB =	= 120°
3 Hay ẤÕB = 120°. Cách vẽ: Như câu a).
Đặt các cung liên tiếp AI, IB, BJ , JC , CK , KA sao cho các dây căng cung là R
Khi đó AAOI đều nên sđAI = 60° Do đó sđAB - sđAI + sđlB = 120°
AABC đều nên AB - AC mà OB = oc
Do đó AO là trung trực của BC
Suy ra OA 1 BC tại trung điểm H của BC
AOBC cân tại o có OH là đường cao nên OH cũng là phân giác BOC
Do đó BOH =	= 60°
2	2
AOHB vuông tại H: HB = OBsin60° = R2—
Vậy a = BC = 2HB = 2R^ = Rựã.
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđAB = 60°, sđBC = 90° và sđCD = 120°.
Tứ giác ABCD là hình gì?
Chứng minh răng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Tứ giác ABCD là hình gì?
Ta có sđAD = 360° - (sđAB + sđBC + sđCD)
= 360° - (60° + 90° + 120°)
= 90° = sdBC.
Suy ra ABD = BDC (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD
Tứ giác ABCD là hình thang và nội tiếp đường tròn (O).
Nên tứ giác ABCD là hình thang cân.
Chứng minh AC ± BD.
2
= 60°+120° = 9Oo
2
Vậy AC 1 BD.
sđAIB - sãAB + sđcp (gỏc cỏ đjnh bên trong đường tròn)
Tính độ dài các cạnh tứ giác ABCD.
AOAB có OA = OB và AOB = sđAB = 60°
Nên là tam giác đều
Do đó AB = R.
AOBC vuông tại o (BOC = sđốc = 90°)
BC2 = OB2 + oc2 = R2 + R2 = 2R2
BC = RV2
Và AD = BC (Do AD = BC)
Nên AD = Rự2 .
COD = sdCD = 120°
Kẻ OH 1 BC, AOBC cân tại 0 có OH là đường cao nên OH cũng là phân giác BOC
COH = C^D =	= 60°
2	2
CH = OCsinCÔH = Rsin60° =
í 2
Vậy CD = 2CH = 2.—^ = Rựã.