Giải bài tập Toán 9 Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BANG PHƯƠNG
PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
F?ĩ] Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ (I), nhưng ở bước 1, hãy trừ từng vế hai phương trình của hệ (I) và viết ra các hệ phương trình mới thu được.
Hướng dẫn
Bước 1: Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được: X - 2y = -1;
[ X	2y —	1
Bước 2: Hệ phương trình mới thu được là: (
[X + y = 2
I?2| Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) có đặc điểm gì?
Hướng dẫn
Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) đối nhau.
[?3| Nêu nhận xét về các hệ số của X trong hai phương trình của hệ (III); Áp dụng quy tắc công đại số, hãy giải hệ (III) bằng cách trừ từng vế hai phương trình của hệ (III).
Hướng dẫn
Các hệ số của X trong hai phương trình của hệ (III) bằng nhau;
2x + 2y = 9
2x - 3y = 4
Giải hệ phương trình (III) như sau:
(HI)
2x + 2y = 9
5y = 5
7 •
X = —
2
,y "1
I?4| Giải tiếp hệ (IV) bằng phương pháp thế đã nêu ở trường hợp thứ nhất.
Hướng dẫn
6x + 4y = 14
-5y = 5
2x + 2y = 9 y = l
2X + 2.1 = 9 y = l
6x + 4y = 14 6x + 9y = 9
6x + 4y = 14 '■ [y = -1
(IV)
6x + 4(-l) = 14
\y = -l
X = 3 y = -i
B. GIẢI BÀI TẬP
20. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
4x + 3y = 6
2x + y = 4
a)
d)
í 3x + y = 3 C „ 12x - y = 7
I 2x + 3y = -2 [3x - 2y = -3
b)
í 2x + 5y = 8
[2x - 3y = 0 í 0,3x + 0,5y = 3 ịl, 5x - 2y = 1,5
c)
a)
b)
í 3x + y = 3 ‘ 5x = 10
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3) [ 2x + 5y = 8
[2x-3y = 0
f 3x + y = 3
8y = 8
2x - 3y = 0
c)
d)
3.2 + y - 3 ‘ X = 2
y = i
2X-3.1 = 0
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
4x + 3y = 6
4x + 2y = 8 y = -2
2x - 2 = 4
y = -3
x = 2
y = i
3
X = —
2
y = -2
4x + 2y = 8 y = -2
2x = 6
Í4x + 3y = 6
[2x + y = 4 « iy
ị 2x + y = 4
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2) [2x + 3y = -2 [3x - 2y = -3
6x + 9y = -6
6x - 4y = -6
13y = 0 6x - 4y = -6
íy=° <=Uy=0
[ 3x - 2y = -3	j 3x = -3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-1; 0) Ị 0,3x + 0,5y = 3	[1,2x + 2y = 12
e) G
[l,5x-2y = l,5	[l,5x-2y = l,5
y = 0
X = -1
y = -2
X = 3
[2,7x = 13,5	Jx = 5	íx = 5
jl,5x-2y = l,5	[l,5.5-2y = 1,5	[-2y = 1,5-7,5
j X = 5	í X = 5
!-2y = -6 ịy = 3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 3)
21. a)
jx>/2-3y = 1 ]^2x + y V2 = -2
b)
5xV3 + y = 2V2
xVõ - y V2 = 2
a)
x72 - 3y = 1 2x + yV2 = -2
2x - 3>/2y = 72
<
2x + y72 = -2
'-4V2y = 72 + 2
2x + yV2 = -2
2x + yV2 = -2
_ 72(1+ 72)
-472
2x + y72 = -2
-(1 + 72) y = _^ 2x-^ = -2
4
4
72 + 2 _2
4
 -(1 + 72)
2x.<kd?).72=-2
4
-(l + 72)
4
_ -(1 + 72)
,y=^r^
<	
72-6 1 72-6 X = -—-—. — = -—-— 4	2	8
-d + 72 ì
4 J
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
b)
5x73 + y = 272
< _
xTẽ - y72 = 2
5x76 + 72y = 4
1 r—	r—
xTẽ - yT2 = 2
67ẽx = 6
< 	
xTõ - y72 = 2
1
X = —!= Tẽ
-72y = 1
1
X = —7= Tẽ
1
72
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
c. LUYỆN TẬP
22. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
[-5x + 2y = 4	[2x-3y = ll	3X 2y = 10
|6x - 3y =-7	ì-4x + 6y = 5	x-^y = s4
L	13	3
i-5x + 2y = 4	f-15x + 6y = 12
' „	„	„	 k „
(6x-3y = -7	[12x-6y = -14
-3x = -2
12x - 6y = -14
2
X = —
3
11 y 3
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
2 in
3’3/1’
6x - 3y =-7	6.^-3y = -7
[2x-3y = ll	Í4x-6y = 22	ÍOx + Oy = 27
|-4x + 6y = 5	[-4x + 6y = 5	[-4x + 6y = 5
Hệ phương trình vô nghiệm.
3x - 2y = 10
3x-2y = 10
' 3x-2y = 10
Ox + Oy = 0
' 3x-2y = 10
X e R
- 3x -10
|y=	2
Hệ phương trình có vô số nghiệm <
3x-10
y= 2
23. Giải hệ phương trình sau:
(1 + V2)x + (1-V2)y = 5
(1 + V2)x + (1 + V2)y = 3
í(l +V2)x + (1-V2)y = 5
|(1 + V2)x + (l + x/2)y = 3 ! (1 + V2)x + (1 - V2)y = 5 |(1-V2-1-V2)y = 2
(1 + V2)x + (1 - V2)y = 5 (l-x/2)y-(l + V2)y = 2
(1 + 72 )x + (1 - V2)y = 5
-2V2y = 2
(1 +V2)x + (1-V2)y = 5
(1 +V2)x + (1-V2)
(1 + V2)x = 4 + ^-
2
8 +72
2(1 + 72)
(8 + V2)(V2 -1)
X = 	„	
2
42
y ~	2
142 -6 X = ——-	
2
42 y 2
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
17^2-6.
I 2 ’
24. Giải các hệ phương trình sau: [2(x + y) + 3(x - y) = 4 [(x + y) + 2(x - y) = 5
2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3
Í2(x + y) + 3(x - y) = 4 a) I,
Ị (x + y) + 2(x - y) = 5
2x + 2y + 3x - 3y = 4
x + y + 2x-2y = 5
5x - y = 4
3x - y = 5
5x - y = 4 ‘ 2x = -1
' 5
2 y
1
I 2
y=-|-4
2
1
X = - —
2
-13
y 2
1
X = - —
2
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = í 2; r 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 [3(x-2)-2(l + y) = -3
J2x + 3y = -l
[3x-2y = 5
13
2
2x - 4 + 3 + 3y = -2 3x - 6 - 2 - 2y = -3 6x + 9y = -3
6x - 4y = 10
6x + 9y = -3
13y = -13
ị2x + 3y = -l	j2x + 3(-l) = -l [2x = 2	fx = l
I y = -1	[y = -l	[y =-1	|y =-1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -1).
Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa t lức 0
P(x) = (3m - ớn + l)x + 4m - n - 10
Đa thức P(x) bằng đa hức 0 khi và chỉ khi
j 3m - 5n + 1 = 0	[3m-5n + l = 0	(3m-5n = -l
[4m-n-10 = 0	[20m-5n-50 = 0	|-17m + 51 = 0
J3m-5n = -l i3.3-5n = -l i-5n = -10 [n = 2
[-17m = -51	[m = 3	° [m = 3	^[111 = 3
Vậy (m; n) = (3; 2)
Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(2; -2) và B(-l; 3)
A(-4; -2) và B(2; 1)
A(3; -1) và B(-3; 2)
d) A( 43 ; 2) và B(0; 2).
a) Do đường thẳng (d) y = ax + b qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3) nên 5 a = - —
3
2a + b = -2
-a + b = 3
3a = -5
-a + b = 3
| + b = 3
13
-5 a = ——
3 »4
3
5
Vậy (d) y - -~x +
O
1
f-4a + b = -2
í-6a = -3
a = —
2
A	7—
[2a + b = 1
[2a + b = 1
2.ị + b = l
[ 2
b) Do đường thẳng (d) y = ax + b qua hai điểm A(-4; -2) và B(2; 1) nên:
b = 0
1
a = —
2
Vậy (d) y = ỉx.
c) Do đường thẳng (d) y = ax + b qua hai điểm A(3; -1) và B(-3; 2) nền:
3a + b = -1
-3a + b = 2
3a + b = -1
6a = -3
+ b = -l
b4'
2
Vậy (d) y = -|x
1
2’
Do đường thẳng (d) y = ax + b qua hai điểm A( a/3 ; 2) và B(0; 2) nên:
• p3.a + b = 2 [V3a + 2 = 2	[73a = 0 cs>[a = 0
i 0 + b = 2	(b = 2	^4 = 2 I b = 2
Vậy (d) y = 2.
Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải:
a) <
1-1 = 1
X y
3 , 4
— + — = 5
b) <
1
x-2
2
1
y-1
3
Hướng dẫn Đặt u = ———; V = -	.
x-2’	y-1
Hướng dẫn Đặt u = —; V = —.
X y
x-2	y-1 1-1 = 1
a) ■
—, V = —. Điều kiện (
X y	[y * 0
* I Đặt u
3 4.
— + — = 5
X y
_ , , „ ,	, u-v = l	[4u-4v = 4	Í7u = 9
Ta có hệ phương trình ( _	 <_
3u - 4v - 5	[3u + 4v = 5	3u + 4v = 5
Từ đó <
9
7
2
7
(thỏa điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
lì
2J
ỉ- = 2
x"2 \-1	Đặt u = ——,
3 _	■ X - 2
1
y-1
Điều kiện
x-2 y-1
Ta có phương trình:
u + V = 2
2u - 3v = 1
2u + 2v = 4
5v = 3
2u - 3v = 1
2u - 3v = 1
3
V - —
5
2u-3.| = l
5
3
V = —
5
2u = 1 + 1
5
3
V = —
5
2u = ^r
5
3
V = —
5
7 u = —
5
Từ đó ■
1
x-2
1
x-2 = f
7
„ , 5
y -1 = r
3
Ễ + 2
7
f+1
3
19
X = —
7
 y 3
19.8^
7 ’3?
(thỏa điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)