Giải bài tập Toán 9 Bài 6. Cung chứa góc
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 Cho đoạn thẳng CD. Vẽ ba điếm Nj,N2,N3sao cho CN,D = CN2D = CN3D = 90". Chứng minh rằng các điểm Nj,N2,N3nằm trên đường tròn bán kính CD. Hướng dẫn Gọi 0 là trung điểm của đoạn thẳng CD; Do CN]D, CN2D, CN3D là các tam giác vuông nên CD ON, = ON2 = ON3 = ^. 2 Chứng tỏ ba điểm N1, N2 và N3 cùng nằm trên đường tròn đường kính CD. I?2] Vẽ một góc trên bìa cứng (chẳng hạn, góc 75°). cắt ra, ta được một mẫu hình như phần gạch chéo ở hình 39. Đóng hai chiếc đinh A, B cách nhau 3cm trên một tấm gồ phẳng. Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A, B. Đánh dấu các vị trí M1,M2,M3,....,M10 của đỉnh góc ÍAM,B = AM2B = .... = AM10B = 75°ì. Qua thực hành, hãy dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M. Hướng dẫn Học sinh tự thực hiện bài thực hành; B. GIẢI BÀI TẬP Dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M: điểm M di động trên một đường tròn. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao diêm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi. Phần thuận: Ta có 9 — — „ _____ (BI, CI là phân giác các góc B , c của AABC) ~ ABC + ACB 90 1 _ jr-o Ann ĩ. . ■ A \ B2 + c2 = = -f- = 45 (AABC vuông tại A) 2 2 Từ đó BIC = 180° - 45° = 135° I di động trên cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn BC thuộc nửa mặt phảng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A (trừ hai điếm B, C) Phần đảo: Lấy điếm I' bất kỳ trên cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn BC cố định (I' khác B và C) Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BT và cr là phân giác xBC và yCB, Bx và Cy cắt nhau tại A. Ta có BTC = 135° 2(Ẽ2 +c2) = 2.45° = 90° Hay ABC + ACB = 90° Do đó AABC vuông tại A và AI' là phân giác BAC (3 đường phân giác trong tam giác đồng qui). Vậy quỹ tích I' là cung chứa góc 135° vẽ trên BC thuộc nửa mặt phẳng bờ là BC có chứa điểm A (trừ hai điếm B, C) Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm Suy ra EL + c2 = 180° - 135° = 45° o của hai đường chéo trong các hình thoi đó. Ta có O'B = O'D O'A = O'c Phần thuận: Ta có AB cố định và AOB = 90° (do 0 là giao điểm hai đường chéo hình thoi) nên o di động trên đường tròn đường kính AB. Giới hạn: 0 chỉ di động trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa cạnh CD nên o di động trên nửa đường tròn đường kính AB. (Trừ hai điểm A và B) Phần đảo: Lấy O' bất kì trên nửa đường tròn đường kính AB (O' khác A, B) Gọi c, D lần lượt là các điểm đối xứng của A, B qua O'. Và AO'B = 90° chắn một b) AM,B < 55 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy quỹ tích o là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trong nửa mặt phẳng bờ là AB có chứa đoạn CD (Trừ hai điểm A, B) Dựng một cung chứa góc 55° trên đoạn thẳng AB = 3 cm. 1 cm F——I— Cách dựng: — Dựng đoạn thẳng AB = 3 cm Dựng xÃB = 55° Dựng Ay 1 Ax Dựng đường trung trực d của AB d cắt Ay tại o. Dựng đường tròn (0; OA) Chứng minh: AMB = xAB (góc nội tiếp và g tiếp tuyến và dây cung cùng cung) Vậy AMB = 55° Gọi cung chứa góc 55° ở bài tập 46 là AmB . Lấy điểm Mj nằm bên trong và điểm M2 nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho Mj, M2 và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng: a) AMjB > 55° Gọi M, M' là giao điểm của AM1 và BM- và cung chứa góc 55° và vẽ trên AB. N, N' là giao điểm của AM2, BM2 và cung chứa góc 55° vẽ trên AB. Suy ra AMB = ANB = 55° rp„ -A ÃTÕTn sđAB + sđMM' Ta có sđ AM.B = 1 2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn) sđAB , sđMM — . sđMM . sđMM _ cc0 “ — = sđAMB + —- = 55u + —> 55 c. LUYỆN TẬP Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điếm. Phần thuận: Ta có AB cố định và AIB =90° (AI là tiếp tuyến đường tròn (B)) Do đó I di động trên đường tròn đường kính AB. Phần đảo: Lấy I' bất kì trên đường tròn đường kính AB vẽ đường tròn (B; BT) Ta có AI'B - 90° (góc nội tiếp chắn, nứa đường tròn) Hay AI' ± BI' tại I' Vậy quỹ tích các tiếp điểm I của tiếp tuyến vẽ từ A với các đường tròn tâm B là đường tròn đường kính AB. Do đó AI' là tiếp tuyến đường tròn (B, BT) 2 cm F—— Dựng tam giác ABC, biết BC = 6 cm, A = 40° và đường cao AH = 4 cm. Cách dựng: Dựng BC = 6 cm Dựng cung chứa góc 40° vẽ Dựng đường thẳng d // BC BC một khoảng 4 cm d cắt cung chứa góc tại A Nối AB, AC Chứng minh: AABC có BC = 6 cm BAC = 40° (A thuộc cung 40° vẽ trên BC) Kẻ AH 1 BC Ta có: AH = 4 cm (AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và BC) Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Chứng minh AIB không đổi. Tìm tập hợp các điếm I nói trên. a) Chứng minh AIB không đối Ta có AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AMBI vuông tại M _ MB tgAIB = Ml MB 2MB Suy ra AIB = 26°34' Vậy AIB không đôi b) Quỹ tích I Phần thuận: Ta có AB cố định và AIB = 26°34' không đối nên I di động trên 2 cung chứa góc 26°34' vẽ trên đoạn AB. Giới hạn: Khi M tiến đến B, I tiến đến B Khi M tiến đến A, I tiến đến A1 (hoặc A2) (Ab A2 là giao điểm của đường thẳng d và các cung chứa góc (với d 1 AB tại A) I di động trên các cung AD và BnA? thuộc các cung chứa góc 26°34' vẽ trên AB. Lấy I' bất kỳ trên Rv3 2 hoặc BnA? thuộc cung chứa góc 26°34' Phần đảo: vẽ trên AB. AI' cắt đường tròn (O) tại M' AM’B = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vuông BMT, ta có tg26°34' = tgATB = I Mì 2 Suy ra MT = 2M'B Vậy quỹ tích I là các cung —,BnÀ2 thuộc hai cung chứa góc 26°34' vẽ trên đoạn AB (trong đó A)A2 ± AB tại A) Cho I, o lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60°. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, c, o, H, I cùng thuộc một đường tròn. Ta có BAC = 2 (tính chất góc nội tiếp) Suy ra BOC = 2BAC = 2.60° = 120° + Tứ giác AB'HC' có trnc' + HẼPÃ + ẼrÃC' + ẤỠH = 360° nên B'HC7 = 360° - HB'A - B'AC' - ẤỠH = 360° - 90° - 60° - 90° = 120° Từ đó BHC = ITHC' = 120° (đối đỉnh) + BIC = 180° - (LBC + ícẽ) = 180° ABC ; ACB —z ' ~— . 2 2 (do IB, IC là phân giác B , C) = 180° 180° - BAC 2 = 180° 1800 -6Qlj = 120° 2 Vậy các điểm o, I, H thuộc cung chứa góc 120° vẽ trên BC. Hay 5 điểm B, H, I, o, c cùng thuộc một đường tròn. “Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32 m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 mét. Gọi AB là bề ngang cầu môn, AB = 7,32 m M là vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền Ta có M thuộc trung trực của AB Gọi N là trung điểm AB . . 2 , . -KT Z , AN 3,66 AANM vuông tại N, có tana = 7 = MN 11 => a ~ 18°25' * Góc sút phạt đền là 36°50' M Vẽ cung chứa góc 36°50' trên đoạn AB Tất cả các điểm trên cung chứa góc này đều có góc sút như quả phạt đền.