Giải bài tập Toán 9 Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây cung

§2. LIÊN HÊ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
|?lị Định lí: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau;
Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Hãy chứng minh định lí trên.
Hướng dẫn
Ta có: AB = CD nên ẤÕB = COD . Do đó AOAB = AOCD. Suy ra AB = CD;
Ta có: AB = CD nên BAx=ACB. Do đó AOB = COD. Suy ra AB = CD.
?2 Xem hình 11. Hãy viết giả thiết và kết luận của định lí.
Hướng dẫn
AB > CD =» AB > CD;
AB > CD => AB > CD .
GIẢI BÀI TẬP
a) Vẽ đường tròn tâm o, bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB có sô đo bằng 60°. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimét?
b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình dưới đây.
a) Tính AB
Vẽ đường tròn (O; R)
Vẽ góc ở tâm có số đo 60° góc cùng chắn cung AB có sđ AB = 60° (= sđ AOB)
* AOAB có oa = OB (bán kính đường tròn) và AOB = 60° nên AOAB đều suy ra AB = OA = OB = R
Vậy AB = 2 (cm)
b) Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau
Lấy điểm A trên đường tròn (O; R)
Dùng compa có khẩu độ bằng R, vẽ đường tròn (A, R1) cắt (O) tại A1 rồi đường tròn (Al, R) cắt đường tròn (O) tại A2, ...
Đường tròn (A4; R) cắt đường tròn (O) tại B
Ta có AA = A]A2 = A2A3 = A3A4 = A4B — BA = R
Suy ra AA1 = A,A2 = A2A3 = A3A4 = AịB = BA
Cho hai đường tròn bằng nhau (0) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, A0'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O') khác điểm o.
So sánh các cung nhỏ BC, BD.
Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm
B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau: BE = BD )
a) So sánh BC và BD
Ta có ABC = 90° (B thuộc đường tròn đường kính AC) tương tự ABD = 90°.
Xét hai tam giác vuông AABC và AABD có
AC - AD (đường kính các đường tròn bằng nhau)
AB là cạnh chung. Nên AABC = AABD
Suy ra CB = BD
Do đó CB = BD (liên hệ dây và cung)
b) Chứng minh B là điểm chính giữa EBD
Ta có ÃED = 90° (E thuộc đường tròn đường kính AD)
ACED vuông tại E có EB là trung tuyến (do BC = BD)
nên EB = BD
Suy ra EB = BD (liên hệ dây và cung)
Vậy B là điểm chính giữa EBD
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm o ngoại tiếp tam giác DBC. Từ o lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H e BC, K e BD).
Chứng minh rằng OH > OK.
So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Chứng minh OH > OK Trong tam giác ABC BC < AB + AC
Suy ra BC OK (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ dây đến tâm)
So sánh BD và BC
Ta có BC < BD
Suy ra BC < BD (liên hệ dây và cung)
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Trường hợp 1: Tâm o nằm ngoài hai dây song song
Kẻ đường kính MON song song với dây AB
Ta có ỎAB = AOM (so le trong và AB // MN) và OBA = BON Mà ÕÃB = OAB (do OA = OB)
Suy ra AOM = BON
Do đó sdACM = sdBDN
Tương tự sđCM = sđDN
Từ đó: sdACM - sdCM = sdBDN - sdDN
Suy ra sđAC = sdBD
Vậy AC = BD
Trường hợp 2: Tâm o nằm trong 2 dây song song
Vẽ đường kính MN song song AB
Tương tự cách làm ở trường hợp 1, ta có
sdAM = sdBN
sdMC = sdND
Suy ra sđ AM + sdMC = sđBN + sđND
Hay sdAMC = sdBND
Vậy AMC = BND
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
a) I là trung điểm AB
Ta có AM = MB
Suy ra AM = MB (liên hệ dây và cung)
Lại có OA = OB
Do đó OM là trung trực của AB Vậy OM qua trung điểm I của AB
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm một dây thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây đó.
Chứng minh: Nếu đường kính MN qua trung điểm I của dây AB
(không qua O), thì ta có
AOAB cân tại o (OA = OB)
Có OI là trung tuyến (I là trung điểm của AB)
Nên OI cũng là phân giác AOB
Suy ra AOM = BOM
Vậy AM = MB (liên hệ góc ở tâm và cung bị chắn)
Mặt khác sđAN = 180° - sđAM
sdBN = 180° - sdMB
nên AN = BN
* Nếu AB qua 0 thì mệnh đề đảo không đúng.
Vậy đường kính qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của các cung bị căng bởi dây ấy.
b) Thuận: AM = MB (M là điểm chính giữa AB ) Suy ra AM = BM (liên hệ giữa dây và cung) Và OA = OB
Nên OM là trung trực AB
Vậy OM 1 AB
Đảo: Nếu MN ± AB và AB qua 0 thì
Ta có ẤÕM = MOB = 90°
Nên AM = MB
Tương tự AN = NB
+ Nếu MN ± AB tại I và AB không qua O thì ta có AOAB cân tại O (OA = OB) có OI là đường cao nên OI cũng là phân giác AOB nên AOM = BOM
Mặt khác
sđẤN = 180° - sđẤM
sdBN = 180° - sdBM
Suy ra AM = BM (liên hệ góc ở tâm và cung bị chắn)
Do đó AN = BN