Giải bài tập Toán 9 Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế

s§3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BANG PHƯƠNG
PHÁP THỂ
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
!?lj Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo
X từ phương trình thứ hai của hệ)
j4x - 5y = 3
[3x - y = 16
Hướng dẫn
4x - 5y = 3
3x — y = 16
4x - 5y = 3
y = 3x - 16
-llx + 80 = 3
y = 3x - 16
Jx = 7 jy = 3x - 16
4x-5(3x-16) = 3
' y = 3x-16
Jx = 7	Jx = 7
ịy = 3.7 -16 jy = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x;y) = (7; 5).
[?2| Bằng minh họa hình học, hãy giải thích tại sao hệ (III) có vô số
nghiệm.
[?3| Cho hệ phương trình: (IV)
4x + y = 2
8x + 2y = 1
Bằng minh họa hình học và bằng phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.
Hướng dẫn
Minh họa bằng hình học:
Chứng tỏ bằng phương pháp thế:
(IV)
4x + y = 2
8x + 2y = 1
íy = 2 - 4x
i.8x + 2y = 1
y = 2 - 4x
8x + 2(2 - 4x) = 1 y = 2 - 4x
4 = 1 (vô lí)
Chứng tỏ hệ phương trình (IV) vô nghiệm.
8x + 2y = 1
4x + y = 2
B. GIẢI BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
X + 3y = -2 5x - 4y = 11
,	, íX - y = 3
12. a) „ \ [3x-4y = 2
b)
7x - 3y = 5
4x + y = 2
[x-y = 3
x = y + 3
3x-4y = 2
3(y + 3) - 4y = 2	I
My+'ấ
(x = 7 + 3	I
u = -7
.y = 7
x = y + 3
3y + 9 - 4y = 2
X = 10
y = 7
b)
Hệ có nghiệm duy nhất là: (x; y) = (10; 7)
7x - 3(2 - 4x) = 5 y = 2 - 4x
11
X = —
19	o
y = 2 - 4.^9
19
j 7x - 3y = 5
I 4x + y = 2
19x = 11 y = 2 - 4x
Hệ có nghiệm duy nhất là: (x; y) =
11
19
c)
Jx + 3y = -2
i 5x - 4y = 11
X = -2 - 3y
5(-2 - 3y) - 4y = 11
[7x - 6 + 12x = 5
X = -2 - 3y -19y =21
X = -2 - 3
21
y = _19
—ì
197
. Ịx=~2 -3y
j-10-15y-4y = 11
(	25
X = ——
19
21
k 19
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
25,_2T|
19’ 19;
13. a)
Í3x-2y = 11
(4x-5y = 3
y=l
5x - 8y = 3
a)
Í3x-2y = 11
[4x - 5y = 3
ll + 2y
3
44 + 8y-15y = 9
X =	-—-
3 -7y = -35
ll + 2y
X =	V—
3
,y = 5
b)
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5).
3
ĩ-ỉ = l
2 3
5x - 8y = 3
-8y = 3
f _ 2 _ , o
X = —y + 2 3
~ y + 10 - 8y = 3 I 3
L 2 . o
X = —y + 2 3
lOy + 30 - 24y = 9
„ _ 2 3
3 2
3
y 2
ịx-|y.2
[-Uy , -21
Í 3^
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = 3;^ .
\ 2)
14. a)
a)
yVõ - 0
y Võ = 0
b)
(2-V3)x-3y = 2 + 5V3 4x + y = 4 - 2V3
-yVõ
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
X = -yV5 -5y + 3y = 1 - V5
fx/5-l
X = - -—-—
l 2
V5-1 y= 2
X = -yVõ -2y = 1 - Võ
Võ - 5
X = -—-—
2
V5 -1 y= 2 fV5-5 V5-1
b)
(2 - Vã)x - 3y = 2 + 5V3
4x + y - 4 - 2V3
(2 - Vỗ)x - 3(4 - 2V3 - 4x) = 2 + 5V3 y = 4 - 2V3 - 4x
(2 - V3)x - 12 + 6a/3 + 12x = 2 + 5V3 y = 4-2^3 -4x
(14 -V3)x = 14-73 y = 4 - 2V3 - 4x
X = 1
y = 4 - 2V3 - 4
X = 1 y = -2V3
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -2 73 ).
c. LUYỆN TẬP
15. Giải hệ phương trình
X + 3y = 1 (a2 + l)x + 6y = 2a
trong mỗi trường hợp sau:
a) a = -1
b) a = 0
c) a = 1
(2x + 6y = -2
[x = l-3y
~ [2-6y + 6y =-2
Hệ phương trình vô nghiệm.
b) Khi a = 0, ta có hệ phương trình:
Ịx + 3y = 1
1 X + 6y = 0
-6y + 3y = 1 X = -6y
-3y = 1 X = -6y
a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình
x = l-3y
2(1 - 3y) + 6y =-2
X = 1 - 3y
Oy =-4
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
c) Khi a = 1, ta có hệ phương trình:
X + 3y = 1
2x + 6y = 2
fx = l-3y
[2(1 - 3y) + 6y = 2
jx = l-3y
ì 2 - 6y + 6y = 2
X = 1 - 3y
Oy = 0
X = 1 - 3y
y G R
Hệ phương trình có vô số nghiệm <Ị x 1 3y
[ye’R
Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế (Bài 16, 17).
16. a)
Í3x-y = 5 ì 5x + 2y = 23
b)
3x + 5y = 1
2x - y = -8
c) y 3
X + y - 10 = 0
a)
y = 3x - 5
5x + 2(3x - 5) = 23 y = 3.3-5
X = 3
b)‘
i 3x - y = 5 [5x + 2y = 23 jy = 3x - 5
° |llx = 33
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 4). J3x + 5y = 1 [2x-y = -8 jl3x = -39 Ịy = 2x + 8
3x + 5(2x + 8) = 1 y = 2x + 8
X = -3
y = 2(-3) + 8
c)
y = 3x - 5
5x + 6x - 10 = 23
3x + lOx + 40 = 1
y = 2x + 8
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 2).
2
X = — y
3
I 2
jy + y-10 = 0
x = |.6
3
,y = 6
2
X =—y
3
2y + 3y - 30 = 0
2
X = —y
«	3
5y = 30
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 6).
17. a)
a)
2 - y VÕ - y VÕ
X = yf2 -yV3
V2-yVã
b)
c)<
X + (V2 + l)y = 1
'(V2-yV3).V2-yV3=l
X = V2 - yV3 y(Vẽ + Vã) = 1
X = V2 - y Võ
3
(V6-V3)
3 '
3
3V2 - 3V2 + 3
3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
X - 2V2y = Vs xV2 + y = 1-VĨÕ ịx = Võ + 2V2y
I Vĩõ + 4y + y = 1 - Vĩõ
X = V5 + 2V2.i--~^^i \	5	7
1-2VĨÕ
k 5
2V2 - 3V5
X = 	-	
5
2VĨÕ
X = Vs + 2V2y
(Vs + 2V2y)V2 + y = 1 - VĨÕ
X = Vs + 2V2y
5y = 1 - 2VĨÕ
5V5 + 2V2 - 4V2Õ
X =	——	—
5
1-2VĨÕ
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
} f(V2-l)x-y = V2
X + (V2 +l)y = 1
' 2V2 - 3V5.1-2VĨÕ>| k 5	’	5	)'
(V2 -1) [1 - (V2 + l)y] - y = V2 X = 1 - (V2 + l)y
V/2 -1 - y - y = V2
X = l-(V2 + I)y
-2y = 1
x = l-(V2 + l)y
1
2
2x + by = -4
,	_ có
bx - ay = -5
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = 18. a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là (V2 -1; V2 )
a) Do nghiệm của hệ phương trình là (1; -2) nên
[2.1 + b(-2) =-4 Ị b.l - a(-2) = -5
ị b = 3
Í2a = -8
-2b = -6
b + 2a = -5
b = 3
' a = -4
b = 3
3 + 2a = -5
b) Do nghiệm của hệ phương trình là (42 -1; V2 ) nên
f2G/2-l) + V2b = -4
|g/2 - l)b - V2a = -5
2^2 - 2 + V2b = -4
<
(V2 - l)b - >/2a = -5
72b = -2-242 (5/2 - l)b - V2a = -5
, -2 - 2V2 b = F=—
42
(42 - l)b - 42a = -5
b = -(2 + V2)
V2 + 2 - 2 - 2V2 - V2a = -5 b = -(2 + V2)
5-V2
a = —7=—
42
b = -(2 + V2)
b = -(2 + V2)
5V2 - 2 a =	z	
2
27m + (m - 2)9 - (3n - 5).3 - 4n = 0
-11 = 7
36m - 13n = 3
n =-7
22
m = -——
9
n = -7
36m-13.(-7) = 3
n = -7
36m = -88
19. Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho X - a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho X + 1 và X - 3.
P(x) = mx3 + (m - 2)x2 - (3n - 5)x - 4n
Do đa thức P(x) chia hết cho X + 1 và X - 3 nên
ÍP(-1) = O f-m + (m - 2) - (3n - 5)(-l) - 4n = 0 ịp(3) = 0
Ị -m + m- 2 + 3n-5-4n = 0
127m + 9m - 18 - 9n +15 - 4n = 0
Vậy (m; n)