Giải bài tập Toán 9 Bài 7. Tứ giác nội tiếp

§7. TỨ GIÁC INỘI TIẾP
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ ThUYÊT
!?1 ■ a) Vẽ một đường tròn tâm o rồi vẽ một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn đó;
a) Hình vẽ:
Hướng dẫn
b) Hình vẽ:
b) Vẽ một đường tròn tâm I rồi vẽ một tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó còn đỉnh thứ tư thì không.
?2, Xem hình 45. Hãy chứng minh định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tống số đo của hai góc đối diện bằng 180°.
Hướng dẫn
Ta có: BAD = |sdDCB; BCD = ịsđỂÃD.
2	2
BAD + BCD = sđDCB t_gjBAD = 360^ = 180°.
Mà sdDCB + sdBAD = 360'1 nên
2	2
Vậy trong một tứ giác nội tiếp, tống số đo của hai góc đối diện luôn luôn bằng 180° (đpcm).
B. GIẢI BÀI TẬP
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể):
Góc
-^Trường hợp
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Â
80°
60°
95°
B
70°
40°
65°
C
105°
74°
D
75°
98°
Góc
-^Trường hợp
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Â
(80°)
75°
(60°)
(*)
106°
(95°)
B
(70°)
105°
(*)
(40°)
65°
82°
C
100°
(105°)
120°
(74°)
85°
D
110°
(75°)
(**)
140°
115°
(98°)
+ Số đo góc ghi trong dấu 0 là giả thiết.
+ (*) và (**) điền tùy ý sao cho (*) + (**) = 180°
Tứ giác ABCD có ABC + ADC = 180°. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Do ABC + ADC = 180°
Nên tứ giác ABCD nội tiếp được
Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Ta có OA = oc nên o thuộc trung trực của AC
Tương tự o thuộc trung trực các đoạn thẳng BD, AB
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết DAB = 80°, DAM = 30°, BMC = 70°. Hãy tính số đo của góc MAB, BCM, AMB, DMC , AMD , MCD và BCD .
• MAB = DAB - DAM = 80° - 30° = 50°
ÃMBC cân tại M (MB = MC)
180° - 70°
2
BCM = CBM = 180° ~BMC 2
ÃMAB cân tại M (MA = MB)
M AB = MBA = 50°
= 55°
Do đó AMB = 180° - 2MAB = 180° - 100° = 80°
AMAD cân tại M (MA - MD)
AMD = 180° - 2 DAM = 180° - 2.30° = 120°
sđBMC = sđBC (góc ở tâm và cung bị chắn) nên sđBC = 70°
sđDAB = -—-— (tính chất góc nội tiếp)
2
Suy ra sđDCB = 2sđDAB = 2(30° + 50°) = 160° sdDC + sdCB = 160°
Từ đó sdDC = 160° - sdCB = 160° - 70° = 90°
Vậy sdDMC = sđDC = 90° (góc ở tâm và cung bị chắn)
• DCB + DAB = 180° (tứ giác ABCD nội tiếp)
Do đó DCB = 180° - DAB = 180° - 80° = 100°
c. LUYỆN TẬP
56. Xem hình. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.
BCE = DCF
Mà
Do
Suy ra
Do đó
ABC = X + 40° _z , , , z 	,z x
_ 2	(Tính chat góc ngoài tam giác)
ADC = X + 20°
ABC + ADC = 180° (Tứ giác ABCD nội tiếp)
X + 40° + X + 20° = 180°
2x = 180° - 60° e> X = 60°.
ABC = X + 40° = 60° + 40° = 100°
= 180° - ABC = 180° - 100° = 80°
ADC
Ta có BCE = DCF (hai góc đối đỉnh) Đặt X =
BCD + X = 180° (hai góc kề bù)
Suy ra
BCD = 180° - 60° = 120°
BAD = 180° - BCD (Tứ giác ABCD nội tiếp)
= 180° - 120° = 60°
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?
Hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối là 90° + 90° = 180°
Hình thang cân nội tiếp được đường tròn vì:
Hai góc đáy bằng nhau (C — D) mà hai góc kề cạnh bên bù nhau (A + D = 180°)
Suy ra tổng hai góc đối của hình thang cân là 180° (A + C = 180°)
• Các hình: Hình bình hành, hình thang, hình thang vuông nhìn chung là không nội tiếp được vì tổng hai góc đối của chúng nhìn chung không bằng 180°.
Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và DCB = 4 ACB
2
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
Ta có
Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, c, D.
DCB = ị ACB = ị 60° = 30°
2	2
Do đó
Mà
Nên ADCB cân tại D.
Suy ra DBC = DCB = 30°
Cho nên
Vì ACD
ABD
ACD = ACB + BCD = 60° + 30° = 90°
DC = DB
ABD = ABC + CBD = 60° + 30° = 90°
= 90° nên c thuộc đường tròn đường kính AD
= 90° nên B thuộc đường tròn đường kính AD
Từ đó A, B, c, D thuộc đường tròn đường kính AD hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD.
Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Theo câu a) tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm AD.
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, c cắt đường thẳng CD tại p khác c. Chứng minh AP - AD.	n
Ta có CP // AB (do CD // AB)
Nên tứ giác ABCP là hình thang mà hình thang này nội tiếp được
Vậy ABCP là hình thang cân
Suy ra AP = BC
Do BC = AD (ABCD là hình bình hành)
Vậy AP = AD
60. Xem hình. Chứng minh QR // ST.
Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong PST , SRQ .
Từ tính chất của tứ giác nội tiếp
1ST = IMP
IMP = QNi
QNI = QRS
(Một góc bằng góc
ngoài của góc đối)
Suy ra 1ST = QRS mà hai góc vuông ở vị trí so le trong
Vậy ST // QR