Giải bài tập Toán 9 Bài 8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

§8. GIẢI BÀI TOÁN BANG cách
LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
|?ĩ| Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4m và diện tích bằng 320m". Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Hướng dẫn
Gọi X là chiều rộng của mảnh đâ't, suy ra chiều dài của mảnh đất là x + 4 (điều kiện: X > 0);
Vì diện tích của mảnh đất là 320m2 nên ta có phương trình: X (x 4- 4) = 320 X2 + 4.X - 320 = 0 X = 16, X = -20(loại). Vậy chiều rộng bằng 16m và chiều dài bằng 20m.
B. GIẢI BÀI TẬP
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng là phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
Gọi X là số một bạn chọn
Sô' bạn kia chọn là X + 5
Tích hai số là x(x + 5)
Ta có phương trình x(x + 5) = 150
Hay X2 + 5x - 150 = 0
A = 25 + 600 =, 625
VÃ = 25
-5 4-25	-5-25
X1 = 	- = 10; x2 = —— 	 = -15.
2	2
Nếu bạn Minh chọn số 10 thì Lan chọn số 15 hoặc ngược lại .
Nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại
Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm.
Gọi x(%) là lãi suất cho vay, X > 0
Tiền lãi sau 1 năm là: 2 000 000.	= 20 OOOx (đồng)
Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là: 2 000 000 + 20 OÓOx (đồng)
Tiền lãi riêng của năm thứ hai là:
(2 000 000 + 20 OOOx). = 20 OOOx + 200x2 (đồng)
Số tiền sau 2 năm Bác Thời phải trả:
2 000 000 + 40 OOOx + 200x2 (đồng)
Ta có phương trình
2 000 000 + 40 OOOx + 200x2 = 2 420 000
hay X2 + 200x - 2100 = 0
A’ = 10 000 + 2100 = 12100
VÃ7 = 110
_ -100 + 110	,n. _ _ -100-110 _ oin
X1 = —	 = 10; x2 = ——-	 = -210 (loại)
Trả lời: Lãi suất cho vay là 10% một năm.
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
<Ợ7Ỏ7
Gọi X (km/giờ) là vận tốc xuồng lúc đi, X > 5
Vận tốc xuồng lúc về là (x - 5) km/giờ
.	.. 120
Thời gian lúc đi: —— + 1 (giờ)
X
o 120(x - 5) + x(x - 5) = 125x	 120x - 600 + X2 - 5x = 125x
o X2 - lOx - 600 = 0
A’ = 25 + 600 = 625
VÃ7 = 25
_ _ 5 + 25 _	_ 5 - 25 _	..
X1 = —Ỷ— = 30 ; x2 = —= -20 (loại)
Vận tốc xuồng lúc đi là 30km/giờ.
Đô. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.
(ịj('ù
Gọi số’ phải tìm là X
Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là - —
2	2
Theo đề bài ta có phương trình
X
.2
X _ ỉ
2 - 2
X
4
(a - b
= ị X2 - X - 2 = 0 2
= 1 - (-1) -2 = 0)
= 2
hoặc 2.
c
X = -1; X
Sô' phải tìm là -1
c. LUYỆN TẬP
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
'tài'
Gọi X là số nhỏ, X 6 N*
Số thứ hai là X + 1
Tích hai số này là x(x + 1) = X2 + X
Tống hai số này làx + x + l=2x + l
Ta có phương trình X2 + X - (2x + 1) = 109
x2 + x-2x-1- 109 = 0 X2 - X - 110 = 0
A = 1 + 440 = 441 => VÃ =21
1 + 21 _ n. ..	1-21 .. in n ..
2	2
Sô' nhỏ là 11, số thứ hai là 12.
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
Gọi x(m) là chiều rộng mảnh đất, X > 0
Chiều dài mảnh đất là:	(m)
X
Chiều rộng sau khi tăng 3 m là: X + 3 (m)
240
- 4 (m)
Diện tích lúc sau là:
3)
240
Ta có phương trình:
3)
X
240
X
4 (m2)
Chiều dài sau khi giảm 4 m là:
 (x + 3)(240 - 4x) = 240x
 240x - 4x2 + 720 - 12x = 240x
 -4x2 - 12x + 720 = 0 o X2 + 3x - 180 = 0
A = 9 + 720 = 729
VÃ = 27
= 12; x2 =
-3 + 27 _	_ -3-27 _ _	..
2	2
Chiều rộng mảnh đất là 12 m
Chiều dài mảnh đất là 20 m.
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Gọi X (km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp, X > 3 Vận tốc xe của cô Liên: (x - 3) (km/h)
. .	,	.	30
Thời gian bác Hiệp đi hết quãng đường: — h
30
----- giờ x-3
X
Thời gian cô Liên đi hết quãng đường:
Ta có phương trình —= 7?
X - 3 X 2
 60x - 60(x - 3) = x(x - 3) 60x - 60x + 180 = X2 - 3x X2 - 3x - 180 = 0
A = 9 + 720 = 729
VÃ = 27
X1 =
..	3 + 27 _	3-27 _ 19
2	2	■
Vận tốc xe của bác Hiệp là 15 (km/h)
Vận tóc xe của cô Liên là 12 (km/h)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 dm3 (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Gọi X (dm) là chiều rộng miếng tôn lúc đầu, X > 5
Chiều dài miếng tôn lúc đầu 2x (dm)
Chiều dài của thùng không nắp: 2x - 10 (dm)
Chiều rộng của thùng không nắp: X - 10 (dm) Dung tích của thùng 5(x - 10)(2x - 10) (dm3) Ta có phương trình
5(x - 10)(2x - 10) = 1500
o	(x - 10)(2x - 10) = 300 o 2x2 - lOx - 20x + 100 - 300 = 0
o	2x2 - 30x - 200 = 0	 X2 - 15x - 100 = 0
A = 225 + 400 = 625
VÃ = 25.
Xi =
15 + 25 _ __ _ _ 15-25 _ _	..
2	2
Chiều rộng miếng tôn là 20 (dm) Chiều dài miếng tôn là 40 (dm)
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?
Gọi X (ngày) là thời gian đội I làm một mình xong công việc, x > 0 Thời gian đội II làm một mình xong công việc X + 6 (ngày)
Mỗi ngày đội I làm được — (công việc)
X
Mỗi ngày đội II làm được —(công việc)
Mỗi ngày cả hai làm được 4 (công việc) 4
Ta có phương trình — + ——; = Ậ
X X + 6	4
 4(x + 6)+ 4x = x(x + 6) 4x + 24 + 4x = X2 + 6x X2 - 2x - 24 = 0
A’ = 1 + 24 = 25
VÃ7 = 5
Xl =
—-5. - 6; x2 - ——— = -4 (loại)
11
Thời gian đội I làm một mình xong công việc: 6 ngày Thời gian đội II làm một mình xong công việc: 12 ngày.
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Gọi X (g/cm3) là khối lượng riêng miếng kim loại thứ nhất, X > 1 Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai X - 1 (g/cm3)
880 Thể tích miếng kim loại thứ nhất: —— (cm3)
X
858 Thể tích miếng kim loại thứ hai (cm3)
X — 1
	_ , 858	880 la có phương trình 	 =10
X -1 X o 858x - 880(x - 1) = 10x(x - 1) 858x - 880x + 880 = 10x2 - lOx 10x2 - lOx + 22x - 880 = 0 10x2 + 12x - 880 = 0 5x2 + 6x - 440 = 0
A’ = 9 + 2200 = 2209
X1 = - - + 47 = 8,8; x2 =
5
-3- 47 = -10 (loại)
5	•
Khối lượng riêng miếng kim loại thứ nhất: 8,8 g/cm3
Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai: 7,8 g/cm3.
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?
Gọi X (g) là trọng lượng nước trong dung dịch lúc đầu, X > 0 40
Nông độ muôi trong dung dịch lúc đó là —
X + 40
Trọng lượng của dung dịch sau khi đổ thêm nước
X + 40 + 200 = X + 240 (g)
Nồng độ của dung dịch lúc này là: —40
X + 240
—. z .	40
Ta có phương trình ——	
40
10
X —40
x + 240
= 100
40	40
1
X + 40 X + 240
10
 400(x + 240) - 400(x + 40) = (x + 40)(x + 240)
« 400x + 96 000 - 400x - 16 000 = X2 + 240x + 40x + 9600
 80 000 = X2 + 280x + 9600
X2 + 280x - 70400 = 0
A’ = 19600 + 70400 = 90 000
VĂ7 = 300
. -140 + 300 _	_ -140-300 _ ...	..
X1 = 	—Y	 = 160; x2 = — 	 = -440 (loại)
Trước khi đổ thêm nước trong dung dịch có 160 (g).
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.
40	2 _
40 phút = ~ giờ = — giờ
60	3
Gọi X (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, X > 3
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng X + 3 (km/h)
Vận tốc ca nô khi ngược dòng X - 3 (km/h) 30
Thời gian xuôi dòng:	(h)
X + 3
Thời gian ngược dòng:
30
X — 3
(h)
Ta có phương trình
30
X + 3
30
X — 3
1=6
3
30	30 _ 16	15	15 _ 8
x + 3 X —3	3	x + 3 X —3	3
45(x - 3) + 45(x + 3) = 8(x + 3)(x - 3)
o 45x - 135 + 45x + 135 = 8(x2 - 9)
 90x = 8x2 - 72
o 8x2 - 90x - 72 = 0
 4x2 - 45x - 36 = 0
A = 2025 + 576 = 2601
VÃ = 51
45 + 51	__	45-51	—3
Xi = 	- = 12; x2 = 	—- = —— (loại)
8	8	4’
Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng: 12 (km/h)
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16). Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà ơ-clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn. Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là X.
Gọi X là tỉ số cần tìm, X > 0
Theo đề bài ta có:	= Tvl = X
AB AM
Suy ra AM = X.AB và MB = xAM.
Mà AB = AM + MB = AM + xÁM = (1 + x).AM Từ đó AB = (1 + x).x.AB
 1 = (1 + x)x (do AB 0)
x2 + x- l = 0
A = 1 + 4 = 5
VÃ = Võ
_ _ -1 + 75	-1-75 „
Xi = -—; x2 = 	-	 (loại)
& £
Vậy tỉ số vàng: ——V