Giải bài tập Toán 9 Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn

§5. CÒNG THỨC NGHIỆM THƯ GỌN
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
[?ĩ] Từ bảng kết luận của bài trước hãy dùng các đẳng thức
b = 2b và A = 4A
Đế suy ra những kết luận sau:
Hướng dẫn
Ta có: A = b2 - 4ac = (2b')2 - 4ac = 4(b'2- ac) => A = 4A';
Nếu A' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-b + VĂ -2b'+ V4A' - b'+VK7
Nghiệm của phương trình là:
X1 =	>	x2 =	
Hướng dẫn
a = 5; b=2;c = -l; A'= 9; VÃ" = Vã = 3;
X1 = -1;	X2 = ị •
r?s] Xác định a, b, c rồi dùng công thức nghiêm thu gọn giải các phương
trình:
3x2 + 8x + 4 = 0;	b) 7x2 - 6ự2x + 2 = 0.
Hướng dẫn
a = 3, b’ = 4, c = 4, A' = 4
—4 ± 2 phân biệt là Xj 2 = ———
3
a = 7, b’ = —3V2 ,c = 2, A' = 4 > 0. Suy ra phương trình có hai
= -2,
3
3V2 ±2
7
0. Suy ra phương trình có hai nghiệm
nghiệm phân biệt là xt 2 =
B. GIẢI BÀI TẬP
b) 13852x2 - 14x + 1 = 0
Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
4x2 + 4x + 1 = 0
c) 5x2 - 6x + 1 = 0
b' = 2
4x2 + 4x + 1 - 0
A' = 22 - 4(1) =4-4=0
-2	1
Phương trình có nghiệm kép X1 = x2 = —- —
2
a = 13852
b) 13852X2 - 14x + 1 = 0
b = —14, b' = -7
c = 1
A' = (-7)2 - 13852(1) = 49 - 13852 = -13803 < 0
Phương trình vô nghiệm.
c) 5x2 - 6x + 1 = 0
a = 5
b = —6, b' = -3 c = 1
A' = (—3)2 - 5(1) = 9-5 = 4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
_ -(-3)+ 2 _ ,	_ -(-3)-2 _ 1
X1 =	-7	 = 1; x2 =	i	= —
5	5	5
a = —3
d) -3x2 + 4\/6x + 4 = 0 
b = 4Vẽ, b' = 2Vẽ
c = 4
A' = (2 Vẽ )2 - (-3X4) = 24 + 12 = 36
VÃ7
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-2V6 + 6 2V6 - 6	-2V6 - 6 2V6 + 6
Xi = 	——	 = 	; x2 = 	— 	 = —-—
-3	3	-3	3
Chú ỷ: Có thể đưa phương trình về dạng 3x2 - 4\/6x - 4 = 0 rồi
giải (nhân 2 vế phương trình với -1)
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b'x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
3x2 - 2x = X2 + 3	b) (2x - V2 )2 - 1 = (x + l)(x -
1)
c) 3x2 + 3 = 2(x + 1)
d)
0,5x(x + 1) = (x - l)2
a) 3x2
2x = X2
+ 3 2x2 - 2x - 3 = 0
A' = 1 - 2(-3) =1+6 = 7
VÃ7 = V7 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 + V7	_ I-V7
X1 = - V- « 1,82; x2 =	« -0,82
2	2
(2x - V2 )2 - 1 = (x + l)(x - 1) 4x2 - 4\/2x + 2-1=x2-1 o 3x2 - 4V2x + 2 = 0
A' = (-2 V2 )2 - 3(2) = 8-6 = 2
VÃ7 = V2 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt -(-2V2) + V2 _ 3V2 K \
^=^ = 72.1,41
-(-2V2)-V2=2ặ
3
3x2 + 3 = 2(x + 1)
o 3x2 + 3 = 2x + 2	3x2 - 2x + 1 = 0
A' = (-1)2 - 3(1) = 1 - 3 = -2 < 0 Phương trình vô nghiệm.
d) 0,5x(x + 1) = (x - l)2 0,5x2 + 0,5x = X2 - 2x + 1 0,5x2 - 2,5x + 1 = 0x2-5x + 2 = 0
A = (-5)2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17
Phương trình có hai nghiệm phân biệt _ _(_5) + 717
X1 =
2(1)
4,56; x2 =
2(1)
5-V17 ;
2
19. Đố.
Đố em biết vì sao khi a nghiệm thì ax2 + bx + c
0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô
0 với mọi giá trị của X?
Ta có
ax2 + bx +
•2 , b
X2 +-
a.
. b
c với
c
2a,
a
b2 — 4ac
4a2
b2
c
4a2
a
b b2
2a + 4a2
Vói a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm nghĩa là
a > 0
b2 — 4ac < 0
Ta có a
( , b ì2
2aJ
b2 — 4ac
4a2
Vậy ax2 + bx + c > 0, với mọi giá trị X.
c. LUYỆN TẬP
Giải các phương trình:
25x2 - 16 = 0
c) 4,2x2 + 5,46x = 0
2x2 + 3 = 0
4x2-2V3x= 1- Vã
a) 25x2 - 16 = 0 « X2 16
4
25	"5
Vậy phương trình có hai nghiệm X =
2x2 + 3 = 0
Ta có 2x2 > 0 => 2x2 + 3 > 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
4,2x2 + 5,46x = 0 x(4,2x + 5,46) = 0
X = 0	X = 0
x = 0
X = — 1,3
4,2x + 5,46 = 0 ° |x = —1,3
Phương trình có hai nghiệm
4x2 — 2 73 x = 1 — 73
o 4x2 - 2 73 X + 73 -1 = 0
A' = (-73 )2 - 4( 73 - 1) = 3 - 4 73 + 4 = 7 - 4 73 = (2 - 73 )2 7Ã7 = 12 - 73 I = 2 - 73
Phương trình có hai nghiệm phân biệt -(-73)4-2-73	2 1
X1 = 	 —	 - — = —
_ 4	r- 42
-(-73) -2 4- 73	273-2 73-1
x2 = 	—	 - ———— — —_—-
4	2
Giải phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):
X2 = 12x + 288;	b) -Ị-x2 + -77-X =19
12	12
X2 = 12x + 288 X2 - 12x - 288 = 0
A' = (-6)2 - (1X-288) = 36 + 288 = 324
TÃ7 = 18
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-(-6) + 18 _	~ ’ - -6) - 18
X1 = 	-ý	 = 24; x2 = 	-y	 = -12
-7-X2 + -7-X = 19 X2 + 7x — 228 = 0
12	12
A = 72 - 4(l)(-288) = 961
TÃ7 = 31
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
X1 =
-7 + 31
2(1)
= 12; x2 =
-7-31
2(1)
= -19
b) -^x2 - 77 X + 1890 = 0 5
Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
15x2 + 4x - 2005 = 0
a.c = 15(-2005) < 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
-^x2- 77 X + 1890 = 0
5
19)
a.c =
-±7 .1890 < 0
)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc V của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:
V = 3t2 - 30t + 135,
(t tính bằng phút, V tính bằng km/h)
Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút
Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Vận tốc của ôtô khi t = 5 phút
V = 3.52 - 30.5 + 135 = 60 (km/h)
Tính t khi V = 120 km/h
Ta có 3t2 - 30t + 135 = 120 o 3t2 - 30t + 15 = 0 t2 - lot + 5 = 0
A' = (_5)2 - 1(5) = 20
tl =
-(-5)+ 2^5 =5 + 2ự5 ,9 47 1
t2 = ~(~5) ~.2^ = 5 - 2V5 « 0,53
Do rada chỉ quan sát trong 10 phút nên 0 < t < 10 Vậy cả 2 giá trị t đều phù hợp
Cho phương trình (ẩn x) X2 - 2(m - l)x + m2 = 0
a) Tính A'.
Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Có nghiệm kép? Vô nghiệm?
a) X2 - 2(m - l)x + m2 = 0
A' = [-(m - l)]2 - (l)(m2) = m2 - 2m + 1 - m2 = -2m + 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: A' > 0 -2m + 1 > 0 m <
Phương trình có nghiệm kép khi: A' = 0 o -2m + 1 = 0 m =
Phương trình vô nghiệm khi: A' m> /7