Giải bài tập Toán 9 Bài 3. Góc nội tiếp

§3. GÓC INỘI TIẾP
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Hướng dẫn
?1 Vì sao các góc ở hình 14 và hình 15 không phải là góc nội tiếp?
Trên hình 14) ta thấy, các góc có đỉnh không nằm trên đường tròn nên không phải là góc nội tiếp;
Trên hình 15) ta thấy, các góc có 2 cạnh không dây cung đường tròn nên không phải là góc nội tiếp.
Hướng dẫn
I?2| Bằng dụng cụ, hãy so sánh sô' đo của góc nội tiếp BACvới số đo của cung bị chắn BC trong mỗi hình 16, 17, 18 dưới đây.
Sô đo của góc nội tiếp BAC luôn bằng với số đo của cung bị chắn BC trong các hình 16, 17, 18.
|?3| Hãy vẽ hình minh họa tính chất trên.
Hướng dẫn
Học sinh tự vẽ hình minh họa.
B. GIẢI BÀI TẬP
Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung. .
a) Biết MAN = 30°, tính PCQ
1
a) Đúng
b) Sai
Xem hình sau (hai đường tròn có tâm là B, c và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).
b) Nếu PCQ = 136° thì MAN có số đo là bao nhié
a) Tính PCQ
_	_ MBN ZJ, 	
Ta có MAN = ——— (tính chất góc nội tiêp) Suy ra MBN = 2MAN = 2.30° = 60°
Tương tự PCQ = 2MBN = 2.60° = 120° f
b) Tính MAN
Ta có PBQ = PC-— (tính chất góc nội tiếp) = 136 - 68°
2	2
Tương tự MAN =	= “ = 34°.
2	2
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?
Đặt đỉnh góc vuông cua Êke tại A xác định vị trí 2 điểm B, c (giao điểm 2 cạnh góc vuông của Êke và đường tròn).
Lấy Êke ra và nối BC.
Tương tự cách làm đặt đỉnh Êke tại vị trí A' và xác định vị trí 2 điểm B', C'. Nối B'C'.
Tâm đường tròn là giao điếm của BC và B'C'.
Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ.
Bóng được đặt ở các vị trí A, B, c trên một cung tròn như hình 20.
Hãy so sánh các góc PAQ, PBQ, PCQ
Ta có PAQ = PBQ = PCQ
(các góc nội tiếp cùng chắn một cung)
c. LUYỆN TẬP
Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB và s là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.
AMB = 90°
ANB = 90°
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn)
hay BM ± SA và AN 1 SB
BM và AN là hai đường cao của ASAB, trực tâm H, do đó SH 1 AB (SH thuộc đường cao thứ ba của tam giác)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm c, B, D thẳng hàng.
Ta có
ABC = 90°
ABD = 90°
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra CBD = ABC + ABD - 90° + 90° = 180° Vậy c, B, D thẳng hàng.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?
Do hai đường tròn (O) (O') bằng nhau nên các cung AB của chúng bằng nhau (cùng căng dây AB)
Ta có BMA — BNA (các góc nội tiếp của hai đường tròn bằng nhau, chắn các cung bằng nhau). Do đó ABMN cân
tại B.
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại c. Chứng minh rằng ta luôn có: AM2 = MB.MC
Ta có BMA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CAB = 90° (tính chất tiếp tuyến)
AABC vuông tại A có AM là đường cao
Suy ra AM2 = MB.MC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại c và D.
Chứng minh MA.MB = MC.MD.
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
* Trường hợp M nằm ngoài đường tròn
Xét AMAD và AMCB có M chung
MDA = MBC (hai góc nội tiếp cùng
chắn AC ) nên AMAD co AMCB
	 MA MD
Suy ra —— = ——
MC MB
Vậy MA.MB = MC.MD
* Trường hợp M nằm bên trong đường tròn
AMC = BMD (đối đỉnh)
Xét AMAC và AMBD
MAC = MDB (hai góc nội tiếp cùng chắn BC) nên AMAC co AMDB
Suy ra	. Vậy MA.MB = MC.MD
J MD MB y
MK = 3 m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.
Một chiếc cầu được thiết kế như hình dưới có độ dài AB = 40 m, chiều cao
R là bán kính đường tròn chứa cung AMB, vẽ đường kính MON của đường
Gọi
tròn
tròn này, theo bài 23 ta có KM.KN = KA.KB
Suy ra 3(2R - 3) = 20.20
6R - 9 = 400
6R = 409
p _ 409 ,	,
R =. —— (cm)
6
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.
0	1	2	3	4 (cm)
Cácìi dựng:
Dựng BC - 4 cm
Dựng đường tròn đường kính BC
Dựng dây BA = 2,5 cm
(hoặc dây CA = 2,5 cm)
Nối AB, AC
Chủng minh:
Ta có BAC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên AABC vuông tại A
(theo cách dựng)
Có BC = 4 (cm)
AB = 2,5 (cm)
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (0). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là s. Chứng minh SM = sc và SN = SA.
Ta có MN // BC
Nên BM = NC (hai cung bị chắn bởi hai dây song song) Mà AM = MB (M là điểm chính giữa AB)
Suy ra AM = NC
SMC = SCM (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau NC = AM )
nên ASMC cân tại s. Vậy SM - sc
SAN = SNA (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau AM = NC)
nên ASAN cân tại s. Vậy SA = SN.