Giải bài tập Toán 9 Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

§6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH (TlỂP THEO)
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác, biết rằng nếu tàng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2 và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Gọi X (cm) là độ dài cạnh góc vuông thứ nhất, điều kiện X > 2
y (cm) là độ dài cạnh góc vuông thứ hai, điều kiện y > 4
 xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52
X + y = 21
2x + y = 30
9 + y = 21
x = 9
+ y = 21
= 9
= 12 /.! ,
(thỏa điêu kiện) = 9
Giải hệ phương trình
 -4x - 2y = -60
y
X
Vậy độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là 9 cm và độ dài cạnh góc vuông thứ hai là 12 cm.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau
_	~	"
4-£- giờ đây bế. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở
5
6
thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu
5
chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
.4	24
4i 5giờ
Gọi x(giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể (x > 0) y(giờ) là thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể (y > 0)
Trong một giờ hai vòi chảy được — + — = 77— — + — =
■ X y 24 X y 24
”5
Sau khi vòi thứ nhất chảy 9 giờ thì mở thêm vòi thứ hai thì trong
9 1 1 một giờ hai vòi chảy được. — + — + — =
XX
' 1	1 _ _5_
Giải hệ phương trình <
X y - 24
10 1 _ 5 y ~ 6
Đặt u = —
X
Ta có hệ
Từ đó
5
u + V - ——
24 lOu + V = I
6
1 _ J5
X 36
,y 72
5
u + V = ——
24
24
36
X = —
5
72
y 5
í 5
— + V . 72
5
u 72
x = 7 j
5	9
(thỏa điều kiện) y = 14?
5
5
24
5
V = ——
36
5
u = —
72
Vậy nếu chỉ mở vòi thứ hai ngay từ đầu thì thời gian chảy đầy bể là 14? giờ = 14 giờ 24 phút.
5
33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Gọi x(giờ) là thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất y(giờ) là thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai Điều kiện X > 0, y > 0
Trong một giờ cả hai làm được - + — = 7?
■ X y 16
Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ
	3 6	1
thì so công việc thực hiện: — + — = —
X y 4
Giải hệ phương trình <
16
j.
4
Đặt u = —; V = ta có hệ:
X y
1
u + V - —
16
<
3u + 6v = 4
4
16
1
u + —-
48
1
V = ——
48
í 1
Từ đó:
1
24
1
48
3u + 3v -
16
3u + 6v = — 4
1 1 u = —- - ——
16 48 J_
48
3u + 3v = Ậ-
16
3v = -L
16
2
u = ——
48
1
V = —
48
1
u + V - —
16
1
- —
48
1
u = —■
24
1
= ——
48
X = 24
y = 48
(thỏa điều kiện)
Vậy người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc trong 24 giờ. người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc trong 48 giờ.
c. LUYỆN TẬP
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cỗi bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thềm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp? (Số cây trong các luống như nhau).
<Ếịiải
Gọi X (cây) là số rau cải bắp nhà Lan trồng trên mỗi luống (x nguyên dương)
y là sô' luống trồng của mảnh vườn (y > 0)
Sô' rau cải bắp của mảnh vườn: xy (cây)
Nếu tăng thêm sô' luống và mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì sô' cây trong vườn:
(y + 8) (x - 3) = xy - 54
 xy - 3y + 8x - 24 = xy - 54
 -3y + 8x = -30
 3y - 8x = 30
Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống trồng thêm 2 cây, thì sô' cây trong vườn:
(y - 4)(x + 2) = xy + 32
xy + 2y - 4x - 8 = xy + 32 o 2y - 4x = 40
o y - 2x = 20
Giải hệ phương trình
3y - 8x = 30
y - 2x = 20
3y — 8x = 30
3y - 6x = 60
Í2x = 30
[3y - 6x = 60
fx = 15	[x = 15	(x = 15
5	„	o <	 (thỏa diễu kiện)
[y - 2x = 20	[y = 30 + 20	[y = 50
Vậy số cây trong vườn là: 50 X 15 = 750 cây.
(Bài toán có An Độ) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?
Gọi x(rupi) là giá tiền mua một quả thanh yên (x > 0) y(rupi) là giá tiền mua một quả táo rừng thơm (y > 0) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm: 9x + 8y = 107
Số tiền mua 7 quả thánh yên và 7 quả táo rừng thơm: 7x + 7y = 91 X + y = 13
Giải hệ phương trình:
9x + 8y = 107
X + y = 13
9x + 8y = 107
8x + 8y = 104
X = 3
x + y = 13
X = 3 y = io
(thỏa điều kiện)
Giá một quả thanh yên là 3 (rupi)
Giá một quả táo rừng thơm 10 (rupi).
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm kết quả cụ thế được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):
Điền số cúa mỗi lần bắn
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42
*
15
*
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.
Gọi X là số lần bắn được điểm 8, X nguyên dương, y là số lần bắn được điểm 6, y nguyên dương. Tồng số lần bắn là: 25 + 42 + X + 15 + y = 100 	X + y = 18	(1)
Điếm số trung bình sau 100 lần bắn là:
10.25 +9.42+ 8x +7.15+ 6.y o
	——	 = 0,69
100
250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869
733 + 8x + 6y - 869
o	8x + 6y = 136
Giải hệ phương trình
ị X + y = 18
"ị 4x + 3y - 68
J14 + y = 18
! X = 14
4x + 3y = 68
(2)
3x + 3y = 54
4x + 3y = 68
y = 4
X = 14
íx + y = 18
Vậy số lần bắn được điểm 8 là 14 lần.
Sô' lần bắn được điểm 6 là 4 lần.
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc mỗi vật.
Gọi x (cm/giây) là vận tốc vật thứ nhất.
y (cm/giây) là vận tốc vật thứ hai.
Điều kiện X > y > 0.
Nếu chuyên động cùng chiề.u thì quãng đường chuyển động sau 20 giây
20x = 20y + 20ti => X — y = 77
Nêu chuyến động ngược chiều thì quãng đường hai vật chuyển động
sau 4 giây
4x + 4y = 2077 => X + y = Õ7I
x-y = 77
X + y = Õ77
Giải hệ phương trình:
x-y = 71
2x = 677
y = 271
X = 377
Vậy vận tô'c vật thứ nhất 377 (cm/giây).
vận tốc vật thứ hai 277 (cm/giây).
Nêu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bỡ sè đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được ~ bê nước. Hỏi nếu mở riêng tưng VÒI thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
giờ 20 phút = 80 phút
Gọi X (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể một mình (điều kiện X > 0) y I phút) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể một mình (điều kiện y > 0)Trong một phút hai vòi chảy được: — + — = -7-.
X y 80
Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút, vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì mỗi phút hai vòi chảy được —
X
1
X
10
X
12	2
+ 	 — ——
y	15
JL-
80
2
“ 5
y
12
y
Giải hệ phương trình: ■
Đặt u = — ; V = —
Từ đó
1
1
u + V = —
lOu + lOv = -
80	~
0 •
8 <- ■
lOu + 12v =
9
lOu + 12v = -=7
l	15
15
Ta có hệ
lOu + lOv = —
8
2v = -!-
120
1
1
V - ——
80
1
240
1
120
1
240
1 1
240 “ 80
1
240
u = ——
120
1
V = ——
240
fx = 120 . - ,	.
1	(thỏa điêu kiện),
[y = 240
1
Ly
Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 120 phút = 2 giờ
vòi thứ hai chảy đầy bể trong 240 phút = 4 giờ.
39. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ 2. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng - 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu cho mỗi loại hàng?
y
Gọi X (đồng) là số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT. Điều kiện X > 0.
y ( đồng) là số tiền trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT. Điều kiện y > 0.
Với mức thuế 10% cho loại thứ nhất và 8% cho loại thứ hai người ấy
phai trá: X + —--X + y + ——y = 2,17
100	100
	HOx + 108y = 217	(1)
Với mức thuế 9% cho cả hai loại, người ấy phải trả
\
9	9
X + ~-x + y + -^—y - 2,18
100	100
	109x + 109y = 218
 x + y = 2	(2)
Giải hệ phương trình:
fllOx + 108y = 217	JllOx + 108y = 217
|x + y = 2	[110x + 110y = 220
J2y = 3	Ịy = 1’5	íy = l,5
[x + y = 2	[x + 1,5 = 2	[X - 0,5
Vậy số tiền trả cho loại thứ nhất (không tính thuế): 0,5 triệu đồng số tiền phải trả cho loại thứ hai (không tính thuế): 1,5 triệu đồng.