Giải bài tập Toán 9 Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 1
  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 2
  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 3
  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 4
  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 5
  • Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trang 6
§4. GÓC TẠO BỞITIA TlỂP TUYỂN VÀ DÂY CUNG
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
r?ĩ] Hãy giải thích vì sao các góc ở các hình 23, 24, 25, 26 không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Hướng dẫn
Trên hình 23) ta thấy, hai cạnh của góc không phải là tiếp tuyến của đường tròn nên không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung;
Trên hình 24) ta thấy, có một cạnh của góc không chứa dây cung của đường tròn nên không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung;
Trên hình 25) ta thấy, có một cạnh của góc không phải là tiếp tuyến của đường tròn nên không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung;
Trên hình 26) ta thấy, điểm A không nằm trên đường tròn nên không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
i?2j Hãy vẽ góc BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong ba trường hợp sau: BÃx = 30°, BÃx = 90°, BÃĨ = 120°;
Trong mỗi trường hợp ở câu a), Hãy cho biết số đo của cung bị chắn.
Hướng dẫn
Nếu BAx = 30° thì số đo của cung bị chắn bằng 60°; Nếu BAx = 90° thì số đo của cung bị chắn bằng 180°; Nếu BAx = 120° thì số đo của cung bị chắn bằng 240°.
I?s| Hãy so sánh số đo của BAx, ACB với Sũ đo cung AmB (h.28).
Hướng dẫn
Số đo của BAx, ACB bằng một nữa số đo của cung AmB.
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB. Lấy điểm p khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của
đường tròn. Chứng minh: APO = PBT
Ta có OA = OP (bán kính đường tròn (O))
Nên AOAP cân tại o
Suy ra ÀPÕ = OAP
Mà OAP = PBT (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn BP)
Vậy ÀPO = PBT
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai p. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song
với tiếp tuyến tại p của đường tròn (O).
Gọi x'Px là tiếp tuyến tại p của đường tròn (O)
Ta có
xPB = PAB , ,	_
	(góc nội tiêp
AQB = PAB
và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
Suy ra xPB = AQB và hai góc ở vị trí so le trong nên AQ // Px
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (0) tại c và đối với đường tròn (O) cắt (O')
tại D. Chứng minh CBA = DBA .
ACB = DAB , ,	s ,
Ta có
	(góc nội tiêp và góc CAB = ADB
giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
Nên ACAB co aADB
Suy ra ABC = ABD
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
Gợi ỷ: Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Cách 1: Chứng minh trực tiếp
Vẽ OH i AB
Theo giả thiết: BAx = sđAB 2
Mà sđAB = sđAOB
Do AOAB cân tại o (OA = OB)
Có OH là đường cao nên cũng là phân giác AOB ~ sđẤR	—-
Suy ra AOH = HOB -	= BAx
*“	2
Mà AOH + OAH = 90° (AOAH vuông tại H)
Nên BAx + OAH = 90° Hay Ax 1 OA tại A
Vậy Ax là tiếp tuyến của đường tròn (0)
Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến tại A củạ đường tròn (O) mà là cát tuyến đi qua A và giả sử cắt (O) tại c.
Khi đó BAC là góc nội tiếp và sđBÃC cịsđẤB
2
Điều này trái với giả thiết (góc đã cho có số đo bằng nửa số đo cung AB)
Vậy Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)
c. LUYỆN TẬP
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, c cắt nhau ở A. Tính ABC, BAC .
Ta có OB = oc = BC = R
Nên aOBC đều
Suy ra BOC = 60° do đó sdBC = 60°
Von _	__ sdBC 6O'J 0
2	2
BAG = 180° - (ABC + BCA )
= 180° - (30° + 30°) = 120°
Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại p cắt đường thẳng AB tại T (điếm B nằm giữa o và T). Chứng minh BTP + 2.TPB = 90°.
BPT = PAB (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn một cung)
PBA = BPT + BTP (góc ngoài ABPT) mà PBA + PÃB = 90° ( APB = 90°: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Từ đó BPT + BTP + BPT = 90°
Vậy BTP + 2BPT = 90°
Cho A, B, c là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.
Ta có x'AB = ACB (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn AB)
Mà VAB = AMN
(so le trong và x't // MN)
Suy ra ACB = AMN và A chung
Nên AAMN AACB c,	 AM AN
Suy ra —— — ——
AC AB
Vậy AM.AB = AN.AC
Cho đường tròn (0) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm
M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh MT2 = MA.MB.
AMTA và AMBT có:
M chung
MTA = MBT (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn AT ) Suy ra AMTA co AMBT
Nên = -..V- . Vậy MT2 = MA.MB
MB MT
Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40 m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km (h.30)
Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34.
Áp dụng bài tập 34
MT2 = MA.MB = MA(MA + 2R)
= 0,04(0,04 + 12800) = 512,0016 MT » 22,6 km
Tương tự:
NT2 = 0,01(0,01 + 12800) = 128,0001
NT » 11,3 km