Giải bài tập Toán 9 Ôn tập chương IV
ON TẶF CHƯƠNG IV B. GIẢI BÀI TẬP Vẽ đồ thị của hai hàm số y = -ặx2 và y = -Ậx2 trên cùng một hệ 4 4 trục tọa độ. Qua điểm B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số y = — X2 tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’. 4 Tìm trên đồ thị của hàm số y = — — X2 điểm N có cùng hoành độ với 4 M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách: Ước lượng trên hình vẽ Tính toán theo công thức. • Vẽ đồ thì y = Ậx2 (P1) 4 Tập xác định của hàm số là R Bảng giá trị Phương trình đường thẳng (d) qua B(0; 4) song song trục Ox là y = 4. Tọa độ giao điểm của (d) và (P1) là nghiệm hệ phương trình: X2 y 4 y = 4 X2 Ta CÓ: — = 4 X2 = 16 X = ±4 4 Vậy (d) cắt (P1) tại hai điểm M, M’ có hoành độ là -4; 4. Gọi N(-4; yN) là điểm có cùng hoành độ với điểm M. Ta có N(-4; yN) e (P2) y = - Ậx2 nên yN = -Ậ(-4)2 = -4 4 4 Vậy N(-4;-4) Gọi N’(4; yN>) là điểm có cùng hoành độ với điểm M’ Ta có N’(4; yN>) G (P2) y = - Ậx2 nên yN> = -Ậ(4)2 = -4 Vậy N’(4; -4) Hai điểm N(-4; -4) và N’(4; -4) có cùng tung độ -4 nên thuộc đường thẳng song song trục hoành, phương trình là y = -4. Cho phương trình X2 - X - 2 = 0, Giải phương trình Vẽ hai đồ thị y = x2 vày - X + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị. X2 — X - 2 = 0 4 -2 4 a-b + c = l- (-1) -2 = 0 Phương trình có hai nghiệm X = -1; X = 2 Vẽ (P) y = X2 Tập xác định của hàm số: R Bảng giá trị X “7^ Vẽ (d) y = X + 2 Tập xác định của hàm số: R Đường thẳng y = X. + 2 qua 2 điểm (0; 2) và (-2; 0) Hai đồ thị (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Điều này chứng tỏ hai nghiệm tìm được ở câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Giải các phương trình 3x4 - 12x2 + 9 = 0 b) 2x4 + 3x2 - 2 = 0 X4 + 5x2 + 1 = 0. 3x4 - 12x2 + 9 = 0 Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 3t2 - 12t + 9 = 0 (a + b + c = 3-12 + 9 = 0) tl — 1, t2 — 3 t= lx2=lx = ±l t = 3x2 = 3x = ±73 Phương trình đã cho có 4 nghiệm X = ±1; X = ±V3 2x4 + 3x2 - 2 = 0 Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 2t2 + 3t - 2 = 0 A = 9 + 16 = 25, VÃ = 5 —3 + 5 1—3 — 5 _ .... ti = ——— = 7; t2 = ——-— = -2 (loại) 4 2 4 Phương trình đã cho có hai nghiệm X = ±-T~ 2 X4 + 5x2 + 1 = 0 Đặt t = X2 > 0 ta có phương trình t2 + 5t + 1 = 0 A = 25 - 4 = 21 VÃ = 721 _ -5 + 721 ,, ., + _ -5-721 ti = ——- (loại); t2 = (loại) 2 Phương trình đã cho vô nghiệm. Giải các phương trình 5x2 -3x+l = 2x+ll ( X 10 — 2x = 9 — X - 2 X — 2x e)2ự3x2 + x + l = 73 (x + 1) a) 5x2 -3x+l = 2x+ll , . X2 2x X + 5 — —— = —-— 5 3 6 X + 0,5 7x + 2 ' = ' , 3x + 1 9x2 - 1 f) X2 + 2 +2 X + 4 = 3(x + 72 ) o 5x2 - 5x - 10 = 0 X2 — x-2 = 0 (a - b + c = 1 - (-1) -2 = 0) X] = —1; x2 = 2 Phương trình có hai nghiệm X = -1; x = 2 X2 2x X + 5 ”5 3~ = 6 6x2 - 20x = 5x + 25 « 6x2 - 25x - 25 = 0 A = 252 - 4.6.Í-25) = 25.49 TÃ = 35 25 + 35 r 25-35 5 X1 = ——— = 5; x2 = ———— = - — 2(6) 2(6) 6 5 Phương trình có hai nghiệm X = 5; X = - ■+ Với điều kiện X _ 10-2x X - 2 ~ X2 - 2x , quy đồng và bỏ mẫu thức ta được phương trình X2 = 10 - 2x X2 + 2x - 10 = 0 A’ = 1 + 10 = 11, TÃ7 = 7ĨĨ X1 = -1 + +ĨĨ (thỏa điều kiện) x2 = —1 - +11 (thỏa điều kiện) Phương trình có hai nghiệm X = -1 ± +11 J. X + 0,5 7x + 2 ~ " 3x +1 9x2 - 1 Với điều kiện X ±-|, quy đồng và bỏ mẫu thức ta được phương trình (x + 0,5)(3x - 1) = 7x + 2 3x2 — X + l,5x - 0,5 - 7x - 2 = 0 « 3x2 - 6,5x - 2,5 = 0 o 6x2 - 13x -5 = 0 A = 169 - 4(6)(-5) = 289, VÃ = 17 2 2 Vs x2 + x + 1 = V3 (x + 1) 2V3x2 + x+1- V3 X - V3 = 0 o 2 V3 X2 + (l - V3 )x + 1 - V3 = 0 A = (1 - Vã)2- 4.2Vã(1 - V3 ) = 1 - 2V3 + 3 - 8 Vã + 24 = 28 - 10 V3 = (5 - Vã )2 VÃ = 5 - V3 _ -(1 - V3) + 5 - Vã _ 4 = V3 X1 ~ 2.2V3 “ 4V3 ” 3 _ -(1 - Vã) - 5 + Vã _ 2V3-6 _ V3-6 = (V3 - 6)V3 X2 ~ 2.2V3 ~ 4V3 ” 2V3 ” 6 _ 3-6V3 _ 1-2V3 " 2 ™ .. , V3 .__ I-2V3 Phương trình có hai nghiệm X = -2— ; X = 2 x2 + 2V2x + 4 = 3(x+V2) o X2 + 2 V2 X + 4 - 3x - 3 V2 = 0 « X2 + (2V2 - 3)x + 4 - 3 V2 =0 A = (2 V2 - 3)2 - 4(1)(4 - 3V2) = 8-12V2 + 9-I6 + I2V2 =1 VÃ = 1 _ 3 - 2V2 + 1 4 - 2V2 _ _ CT 2 2 2V2-I 2-2V2 , CT x2 = T—— = = 1 - v2 . 2 2 Phương trình có hai nghiệm X = 2 - V2 ; X = 1 - V2. Giải các phương trình a) l,2x3 - X2 - 0,2x - 0 b) 5x3 — X2 - 5x +1 = 0 a) l,2x3 - X2 - 0,2x = 0 cx> 6x3 - 5x2 — X = 0 x(6x2 - 5x - 1) - 0 x = 0 6x2 — 5x - 1 = 0 (dạng a + b + c = 0) Phương trình có ba nghiệm 5x3 - X2 — 5x + 1 - 0 x2(5x - 1) — (5x - 1) = 0 « (5x - l)(x2 - 1) = 0 5x -1 = 0 X2 - 1 = 0 Phương trình có ba nghiệm X = — 5 x = ±1 Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: a) 2(xz - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + 1 = 0 b) + 3 = 0. a) 2(x2 - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + 1 = 0 Đặt t = X2 - 2x, ta có phương trình 2t2 + 3t + 1 = 0 (a-b + c = 2- 3 + l = 0) t] = -1; t2 = e t = -1 X2 - 2x = -1 X2 - 2x + 1 = 0 (x - I)2 = 0 X = 1 • t = -ị X2 - 2x = -I 2x2 - 4x + 1 = 0 2 2 A’ = 4 - 2 = 2; VÃ = V2 2 + V2 __ 2-V2 V. = • vo = Phương trình đã cho có nghiệm X = 1 (nghiệm kép) 2 ± V2 X = ——— 2 b) L , lì2 X + - X, A, lì - 4 X + - X) Điều kiện X * 0. Đặt t = X + — X Ta có phương trình: tz - 4t + 3 = 0 (a + b + c = l- 4 + 3 = 0) ti = 1; t2 — 3. l o • t = 1 X + — = 1 X2 — x + l = o X A=l-4 = -3<0 Phương trình này vô nghiệm. • t = 3ox+— = 3x2-3x + 1 = 0 X X1 = 3 +V5 2 (thỏa điều kiện); x2 = 3-Võ (thộa điều kiện) 3±V5 2 Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia: a) 12x2 - 8x + 1 = 0; Xi = — 2 X2 + X - 2 + 72 = 0; X1 = -72 b) 2x2 - 7x - 39 = 0; X1 = -3 X2 - 2mx + m - 1 = 0; X1 = 2. a) 12x2 - 8x + 1 = 0; X1 Phương trình có A’ - 16 - 12 = 4 > 0, nên có hai nghiệm Do X1.X2 = — => —-X2 = — => x2 = — 12 2 12 6 b) 2x2 - 7x - 39 = 0 Phương trình có a.c = 2(-39) < 0 nên có hai nghiêm .. - 39 O„ 39 13 do X1.X2 - - — => -3.x2 = - — => X = — 2 2 2 X2 + X - 2 + 72 = 0 Phương trình có a.c = l(-2 + 72 ) < 0 nên có hai nghiệm => x2 = 72 - 1. Do xx.x2 = -2 + 72 => -72 x2 = -2 + 72 X2 - 2mx + m - 1 = 0 A’ = m2 — m + 1 = lì 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Do Xi = 2 là nghiệm của phương trình nên: 22 - 2.m.2 + m- l = 0=>4 -4m + m - 1 = 0 -3m + 3 = 0 m = 1. Mà Xj.x2 = m - 1 => 2.x2 =1 — 1 => x2 = 0. Tìm hai số u và V trong mỗi trường hợp sau: b) u + V = 3; uv = 6. a) u + V = 12, uv = 28 và u > V a) u + V = 12 u.v = 28 u, V là nghiệm phương trình X2 - 12X + 28 = 0 A’ = 36 - 28 = 8 VÃ7 = 2V2 Xi = 6 + 2V2 ; x2 = 6 - 2V2 Từ đó U-6 + 2V2 (do u > v) V = 6 - 2V2 b) u + V = u.v = 6 : u, V là nghiệm phương trình X2 - 3X + 6 = 0 A = 9 - 4.6 = -15 < 0 Phương trình vô nghiệm Vậy không có u, V thỏa mãn các điều kiện trên. Cho phương trình 7x2 + 2(m - l)x - m2 = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm? b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tông các bình phương hai nghiệm của phương trình. a) 7x2 + 2(m - l)x - m2 = 0 A’ .= (m - l)2 - 7(-m2) = (m - l)2 + 7m2 > 0 với mọi giá trị m. Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị m X! +x2 2(1 - m) b) Theo hệ thức Viét X1.X2 = m2 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình X2 + X2 = (X1 + x2)2 - 2X1X2 2 -2-^ĩ 7 2(1-m) 7 — 8m + 4m2 + 14m2 4(1- 2m + m2) 2m2 49 + 7 18m2 - 8m + 4 49 49 Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm? Gọi x% là tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm, X > 0 Sau một nãm dân số cpa thành phô là X 100 2 000 000 + 2 000 000-^- = 2 000 000 + 20 OOOx (người) Sau hai năm dân số của thành phô' là 2 000 000 + 20 OOOx + (2 000 000 + 20 OOOx). (người) 100 6 hay 2 000 000 + 40 OOOx + 200x2 Ta có phương trình 200x2 + 40 OOOx + 2 000 000 - 2 020 050 4x2 + 800x - 401 = 0 A’ = 4002 - 4(-401) = 16 1 604 VÃ7 = 402 -400 + 402 1 -400-402 -802 X1 = = — = 0,5; x2 = -- = . (loại) 4 2 4 4 ■ Vậy ti lệ tàng dân số trung bình một năm là 0,5%. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hoi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu? Gọi X là số đề bài cho, X > 0 Bạn Quân đã chọn số X - 2 nhân với X Ta có phương trình (x - 2)x = 120 X2 - 2x - 120 = 0 A' = 1 + 120 = 121; VÃ7 = 11 Xị = 1 + 11 = 12; x2 = 1 - 11 = -10 (loại) Vậy số ban đầu là 12 Và kết quả đúng phải là 12(12 + 2) - 168. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km. Gọi X (km/giờ) là vận tốc xe đi Hà Nội, X > 5 Vận tốc xe đi từ Bình Sơn là (x - 5) km/giờ Thời gian xe đi từ Hà Nội đi nửa quãng đường —- giờ X Thời gian xe đi từ Bình Sơn đi nửa quãng đường 450- giờ 450 _ 1 X - 5x m , , , . , 450 Ta có phương trình — - X - 5 450x - 450x + 2250 = X2 X2 - 5x - 2250 = 0 = 95 A = 25 + 9000 = 9025; Va 5 + 95 cn. „ 5-95 2 2 Vận tốc xe đi từ Hà Nội 50 km/giờ Vận tốc xe đi từ Bình Sơn 45 km/giờ 66. Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh p và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật bằng 36 cm2. X; = = 50; x2 = = -45 (loại) Hỉnh 17 Đặt X - AK. Điều kiện 0 < X < Do AABC 00 AAMN nên AK “ AH 4x 3 MN _ AM BC - AB Suy ra MN = ~ = 12 Mặt khác MQ = KH = 12 - 12 X 12 Do đó diện tích hình chữ nhật MNPQ: (12 - x)^— 4x Ta có phương trình: (12 - x)-^— = 36 3 « 48x - 4x2 = 108 o 4x2 - 48x + 108 = 0 o X2 - 12x + 27 = 0 A’ = 36 - 27 = 9, VÃ7 = 3. _6 + 3_q. _6~3_q Xị = —:— - 9; X2 = —-— = 3. 1 1 Vậy độ dài đoạn AK bằng 3 cm hoặc 9 cm.