Giải bài tập Toán 9 Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

§2. HÌNH NÓN - HÌNH NÓN CỤT - DIỆN TÍCH
XUNG QUANH VÀ THỂ 1ÍCH CỦA HÌNH NÓN -
HÌNH NÓN CỤT
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
? Chiếc nón (h.88) có dạng mặt xung quanh của một hình nón. Quan sát hình và cho biết, đâu là đường tròn đáy, đâu là mặt xúng quanh, đâu là đường sinh của hình nón.
Hướng dẫn
Trên hình 88, ta có đường tròn đáy chính là vành của chiếc nón;
Mặt xung quanh của hình nón chính là mặt của chiếc nón;
Đường sinh của hình nón là đường thẳng nối từ đỉnh đến vành nón.
GIẢI BÀI TẬP
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h.93). Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón
b) Độ dài đường sinh
Bán kính đáy của hình nón:
R = 0,5
Độ dài đường sinh
l = 7r2 + h2 = ựo,52 +12 =
Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.
Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30°, độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
Bán kính đáy hình nón
R = oc = AC.sin30° = Ị
2
Chu vi đáy hình nón chính là độ dài cung hình quạt (bài 16).
I - 2tt.R = 2n.	= 71.a
2
Bán kính hình quạt là a.
Số đo độ của cung hình quạt là
0 _ 180“/ _ 180%a _ 1Qn0
n — ——— = 	 = lot)
ttR Tva
Hình ABCD (h.95) khi quay quanh BC thì tạo ra:
Một hình trụ
Một hình nón
c. Một hình nón cụt
Hai hình nón
Hai hình trụ
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Chọn D.
19. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16 cm, số đo cung là 120° thì độ dài đường sinh của hình nón là:
p 16	 	
c. — cm D. 4 cm
3
A. 16 cm
B. 8 cm
16 _
E. cm.
5
Hãy chọn kết quả đúng
Chọn A
d
Hình 96
Độ dài đường sinh hình nón bằng bán kính hình quạt.
20. Hãy điền đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96):
Bán kính đáy r (cm)
Đường kính đáy d (cm)
Chiều cao h (cm)
Độ dài đường sinh I (cm)
Thế tích V (cm3).
10
10
10
10
10
1000
10
1000
10
1000
Bán kính đáy r (cm)
Đường kính đáy d (cm)
Chiều cao h
(cm)
Độ dài đường sinh I (cm)
Thể tích V (cm3).
(10)
20
(10)
10 V2
1000
	TV
3
5
(10)
(10)
5s/5
250
	TV
3
10 JI
20 H
(10)
10. 1 + 1
N TV
(1000)
(10)
20
30
TV
10Í1 + Ặ
V	TV2
(1000)
5
(10)
120
. TV
1	, >2
>+ —
V	I TV ,
(1000)
Bán kính đáy hình nón
21. Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h.97). Hãy tính tổng diện tích vải cần có đế’ làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
TJ _ 35 - 20 _ „ , _
R = ———- =7,5 cm.
2
S1 = ttR/ = 3,14.7,5.30 « 706,5 cm2
Diện tích xung quanh hình nón
Diện tích vành nón
s2 = 7i( R'2 - R2)
= 3,14(17,52 - 7,52) » 785 cm2
Diện tích vải cần
s = Si + s2 = 706,5 + 785 » 1491,5 cm2
22. Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (AO = OB).
Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Thể tích một hình nón
w _ 1 D2- _ ^R2h
Vi = ~xR 9 =	—
3	2	6
Thể tích hai hình nón
v2 = 2V, -
3
Thể tích hình trụ: V = 7iR2h
Vậy V = 3V2.
c. LUYỆN TẬP
Viết công thức tính nửa góc giác vuông AOS - hình 99) nón bằng một phần tư diện
Diện tích hình quạt _ TV.Z .90° _ 7vZ2 q - 360° - 4
Diện tích xung quanh hình n< Sxq = Sq
=> 7iRZ =	=> R =
4
Vậy công thức tính nửa góc ở
l
Hình 98
ở đỉnh của một hình nón (góc a của sao cho diện tích mặt khai triển của tích của hình nón (bán kính SA).
tam mặt
B
7vZ2 . -7 —: 1U =
4
đỉnh:
sina =	= 4. = ỉ Tính được a * 14°29’
SA z 4 v
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16 cm, số’ đo cung là 120°. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
J0	_ a/2	r-	r-
A. ~	B.	c. V2	D. 2V2.
4	2
Đường sinh của hình nón là bán kính hình quạt z= 16 cm.
Độ dài cung hình quạt là chu ví đáy hình nón: 2nR =
180°	3
ỉ 16
Suy ra bán kính hình tròn đáy: R =
3	3
'16?
3
32V2
3
Trong tam giác vuông SOA:
16
Vậy tga =
R _	3 _ 16	3 _ V2
h - 32V2 " 3 32V2 ” 4 3 ~
SO2 = SA2 - OA2 = 162 -
Chọn A.
25. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là l (a, b, l có cùng
đơn vị đo).
Diện tích xung quanh hình nón cụt
sxq = 7ĩ(a + b)Z.
26. Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm)
Hình
Bán kính đáy (ó
Đường kính đáy
(d)
Chiều cao (h)
Độ dài đường sinh (/)
Thể tích (V)
/ 1 \
/ 1 \
/ 1 \ / 1 \
< * L - - -\
5
12
16.
15
7
25
40
29
Hình
Bán kính đáy
(r)
Đường kính đáy
(d) ’
Chiều
cao
(h)
Độ dài đường sinh (/)
Thể tích (V)
/\
/ 1 \
/ 1 \
/ 1 \
/ 1 \
(5) .
10
(12)
13
314
8
(16)
15
17
1004,8
(7)
14
24
(25)
1230,88
20
(40)
21
(29)
8792
21. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
a) Thể tích dụng cụ
Thế tích hình trụ
V! = KR2.hi = K.702.70
= 343000k cm3 = 0,343k (m3).
Thể tích hình nón v2 = ịKR2.h2
3
(h2 = 160 - 70 = 90 cm)
= |k.702.90 = 147000 cm3 = 0,147 (m3)
3
Thể tích dụng cụ:
V = Vị + v2 = 0,343k + 0,147k = 0,49k (m3)
b) Diện tích mặt ngoài dụng cụ
Diện tích xung quanh hình trụ
Si = 2KRhi = 2k.70.70 = 9800k cm2 = 0,98k (m2).
Độ dài đường sinh hình nón
l = V702 + 902 * 114,02 cm
Diện tích xung quanh hình nón
s2 = kRZ = k.70.114,02 = 7981,4k cm2 * 0,80k (m2)
Diện tích mặt ngoài dụng cụ
s = S1 + s2 = 0,98k + 0,80k = 1,78k (m2)
Một cái xô bằng inổc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm)
Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung
tích của nó là bao nhiêu?
Diện tích xung quanh
s = 71.(21 + 9)36 « 3391,2 cm2
Thế tích hóa chất
Chiều cao hình nón cụt
h = \?362 -122 * 33,94 cm
Thể tích hình nón cụt
V = 'K-33,9-t(212 + 92 + 21.9)
3
« 25257,47 cm3 « 25,3 lít
Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xec-van-téc (Cervantes)).
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h.102). Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó là 17 600 cm3.
Hình 102
Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Thế tích hình nón:
V = ịnR2.h
3
Bán kính hình nón:
R2 = 3V = 3-17609 = 400,36. Tvh 3,14.42
R « 20,01 cm.