Giải bài tập Toán 9 Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai

§7. KHƯƠNG TRÌNH QUI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
1 ?lì Giải các phương trình trùng phương:
4x4 + X2 - 5 = 0 ;	b) 3x4 + 4x2 +1 = 0.
Hướng dan
Đặt t = X2 (t > 0), phương trình trở thành:
5 4t2 + t — 5 = 0 <+ t = 1; t = — 4(loại)
4
Với t — 1, ta có: X2 = 1 o X = ±1.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: X = ±1;
Đặt t = X2 (t > 0), phương trình trở thành:
3t2 + 4t + 1 = 0 +> t = -1; t = - i (không thỏa mãn điều kiện);
3
Vậy phương trình vô nghiệm.
r^—I	X2 — 3x + 6	1
Ị?2| Giải phương trình 	--— = ———
X - 9 X - 3
Bằng cách điền vào chỗ trống (....) và trả lời các câu hỏi.
Điều kiện: x^...;
Khử mẫu và biến đổi, ta được: X2 — 3x + 6 = ... <+ X2 - 4x + 3 = 0 ;
Nghiệm của phương trình X2 - 4x + 3 = 0 là Xj = ...; x2 = ...;
Hỏi Xi có thỏa mãn điều kiện nói trên không? Tương tự đôi với x2?
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ....
Hướng dẫn
Điều kiện: X ±3;
Khử mẫu và biến đổi, ta được: X2 — 3x + 6 = x + 3ox2 — 4x + 3 = 0;
Nghiệm của phương trình X2 — 4x + 3 = 0 là Xj = 1; x2 = 3;
Hỏi X1 có thỏa mãn điều kiện nói trên không? Tương tự đối với x2?
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: X = 1.
[?3| Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
X3 + 3x2 + 2x = 0.
Ta có:
Hướng dẫn
X3 + 3x2 + 2x = 0 X (x2 + 3x + 2) = 0
x = 0
X2 + 3x + 2 = 0
x = 0
X = — l,x = -2
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: X = -2, X = -1, X = 0.
B. GIẢ! BÀI TẬP
Giải các phương trình trùng phương:
X4 - 5x2 + 4 = 0 b) 2x4 - 3x2 - 2 = 0 c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0
X4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt t = X2 > 0
Ta có phương trình t2 - 5t + 4 = 0
Dạng a + b + c = 0; ti = 1, t2 = 4
t= lx2=le>x = ±l
t = 4x2 = 4ox = ±2
Phương trình có 4 nghiệm X = ±1; X = ±2
2x4 - 3x2 -2 = 0. Đặt t = X2 > 0
Ta có phương trình 2t2 - 3t - 2 = 0
A = 9 - 4(2)(-2) = 25 VÃ = 5.
(loại)
2
-(-3) + 5 = 2. = -(-3)-5
2(2)	; 2	2(2)
• t = 2 X2 = 2 X = ±V2
Phương trình đã cho có hai nghiệm X = ±72
3x4 + 10x2 + 3 = 0
Đặt t = X2 > 0.
Ta có phương trình 3t2 + lOt + 3 = 0
A’= 25 - 3.3 = 16
VÃ7 = 4
, _ —5 + 4	1 . ., ,	—5 — 4 Z1 ..
ti = 	-— = - — (loại); t2 = ——— = -3 (loại)
-X2 - X + 2
“—r = T	—2	
X + 1 (x + l)(x + 2)
a)
(X + 3XX-3) + 2 = x(1_x)
3
Qui đồng mẫu thức và bỏ mẫu ta được phương trình (x + 3)(x - 3) + 6 = 3x(l - x)
o X2 - 9 + 6 = 3x - 3x2 4x2 - 3x - 3 - 0
A = 9 - 4(4)(-3) = 57
VÃ = V57
3 + V57	3 + 757	3 - V57
———— - — _—; *2 = ——
2(4)	8	2(4)
3-457
8
c)
Với điều kiện
, quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu, ta có phương trình X = 2
(x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x - 5)
o	4 - X2 + 3(2x - X2 - 10 + 5x) - 6x - 30
	4 - X2 + 21x - 3x2 - 30 - 6x + 30 = 0
o -4x2 + 15x + 4 = 0
«	4x2 - 15x - 4 = 0
A = 225 + 64 = 289 VÃ = 17.
_ 15 + 17 _ . , , . , _ _ 15-17 _ 1 , , â ,
X1 =	 = 4 (nhận); x2 = ——	 - - — (nhận)
8	8	4
Vậy phương trình đã có hai nghiệm X1 = 4, x2 = - —.
-X2 - X + 2
(x + l)(x + 2)
Với điều kiện
qui đồng mẫu thức và bỏ mẫu ta có phương
trình 4(x + 2) = -X2 - X
4x + 8 + x2 + x- 2 = 0	 X2 + 5x + 6 = 0
o. A = 25 - 24 = 1 o VÃ =1
5—— = -2 (loại); x2 = 5 1 = -3 (nhận) 2	2
X1 =
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm X = -3. 36. Giải các phương trình
a) (3x2 - 5x + l)(x2 — 4) = 0
b) (2x2 + X - 4)2 - (2x - l)2 = 0
a) (3x2 - 5x + l)(x2- 4) = 0
3x2 — 5x + 1 — 0
[X2 - 4 = 0
Giải phương trình
3x2 - 5x + 1 = 0
A = 25 - 12 = 13
Va = 713
5-VĨ3
6
Giải phương trình x2-4 = 0x2 = 4x = ±2
5 + V13
-^;x2 =
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm X = 	, X = ±2
6
b) (2x2 + X - 4)2 - (2x - l)2 = 0 (2x2 (2x2
2x2
° [2x2
+ X - 4 + 2x - l)(2x2 + x- 4-2x+l) = 0
+ 3x - 5)(2x2 - X - 3) = 0
+ 3x — 5 = 0
-x-3 = 0
Giải phương trình 2x2 + 3x - 5 = 0 Dạng a + b + c = 0
Xj = 1; x2 = —-
Giải phương trình 2x2 - X - 3 = 0 Dạng a - b + c = 0
_ _	1.. _ 3
x3 = -1; X4 = ^
Phương trình đã cho có 4 nghiệm
_ _ 1. _ -5. . _ 1.1-3 X1 = 1; x2 = —; x3 = -1; x4 =
Zj
c. LUYỆN TẬP
37. Giải các phương trình trùng phương
a) 9x4 - 10x2 + 1 = 0
c) 0,3x4 + l,8x2 + 1,5 = 0
b) 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2 d) 2x2 + 1 = -4 - 4.
X2
a) 9x4 - 10x2 + 1 = 0
Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 9t2 - lot + 1 = 0
(a + b + c = 9-10 + l=0)
X2
X2
n = 1. tí = I
X = ± 1
, 1
X = ±4
3
Phương trình đã cho có 4 nghiệm X = ±1; X =
3
5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2
o 5x4 + 3x2 - 26 = 0
Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 5t2 + 3t - 26 = 0
A = 9 - 4(5)(-26) = 529
VÃ = 23
—(loại)
5
-3 + 23 _	+ _ -3-23
ti — 	_ ,■■■"	 — tọ — 	
2(5)	2(5)
• t = 2x2 = 2ox = ±72 Phương trình đã cho có 2 nghiệm X - ±72
0,3x4 + l,8x2 + 1,5 = 0» 3x4 + 18x2 + 15 = 0
Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 3t2 + 18t + 15 = 0 a-b + c = 3-18 + 15 = 0
15
ti = -1 (loại); t2 = - — = -5 (loại)
3
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
2x2 + 1 = 7- _ 4. Điều kiện X * 0 X2
2x4 + X2 = 1 - 4x2
o 2x4 + 5x2 - 1 = 0
Đặt t = X2 > 0, ta có phương trình 2t2 + 5t - 1 = 0
A = 25 - 4(2)(-l) = 25 + 8 = 33
-5 + 733 . _ -5-733 n ..
ti = 	4	; t2 =	■— (loại)
4	4
-5 + 733 „2-5 + 733 _ „ _ 7-5 + 733 ,,,,	, .. .
• t =	—— X =	 X = ± -——4	(thoa điêu kiện)
4	4	2
/	 g Ị yj
Phương trình đã cho có 2 nghiệm X = ±————	.
Giải các phương trình
(x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x
(x - l)3 + 0,5x2 - x(x2 + 1,5)
X3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - l)(x2 - 2) x(x —7)	, X X —4
—
. 14	_ ■	1
9	„ = 1 - -	
X2 - 9	3 — X
3
f)
-1 = 1
2	3
X2 - X + 8
(x + l)(x - 4) ■
(x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x
 X2 - 6x + 9 + X2 + 8x + 16 = 23 - 3x
 2x2 + 5x + 2 = 0
A = 25 - 4(2X2) = 9
X] =
—5 + 3	1	-5-3 . o
	r— = - —; *2 = 7— = -2
4	2	4
Phương trình đã cho có 2 nghiệm X = - ; X = -2
2
X3 + 2x2 — (x — 3)2 = (x - l)(x2 - 2)
 X3 + 2x2 - (x2 - 6x + 9) = X3 - 2x - X2 + 2
o X3 + 2x2 - X2 + 6x - 9 = X3 - 2x - X2 + 2
» 2x2 + 8x - 11 = 0
A’ = 16 + 22 = 38
VÃ7 = V 38
-4 +V38 . __	-4-V38
X] = —	; x2 =	—
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm X =
2
(x - l)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
 X3 - 3x2 + 3x - 1 + 0,5x2 = X3 + l,5x
« -2,5x2 + l,5x -1 = 0
 5x2 - 3x + 2 = 0
A = 9 - 40 = -31 < 0
Phương trình đã cho vô nghiệm
.. x(x-7)	_ X X —4
—	1 =	- í—-—
2	3
 2x(x-7) - 6 = 3x - 2(x - 4)
 2x2 - 14x - 6 = 3x - 2x + 8
o 2x2 - 15x - 14 = 0 A = 225 + 112 = 337 =} VÃ = <337
15 + V337.	15-V337
Xi = 	—	; x2 = —	-	
■	’	2	4
Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 15 V337
. 4
14	1
= 1 - ———. Điếu kiện X ±3
X2 — 9	3 — X
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu ta có phương trình 14 = x2-9 + x + 3 X2 + X - 20 = 0
A = 1 + 80 = 81 => VÃ =9
-1 + 9	. ..	-1-9 c	J;ỉ , x
X1 = ——— = 4; x2 = —= -5 (thỏa điêu kiện)
2	2
Phương trình đã cho có hai nghiệm X - 4; X = -5.
2x X2—x + 8 ■	£	íx^-1
t) 	 = 	—	—. thêu kiện
x + 1 (x + l)(x — 4)	[x 4
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu ta có phương trình 2x(x - 4) = X2 - X + 8 	2x2 — 8x = X2 - X + 8
<» X2 - 7x - 8 = 0
a - b + c = 1 -(-7) -8 = 0
Xj = —1 (loại), x2 = 8
Phương trình đã cho có nghiệm X = 8.
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
(3x2 - 7x - 10)[2x2 + (1 - Võ ) X + Võ - 3] = 0
X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
(x2 - 1X0,6x + 1) = 0,6x2 + X
(x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2.
a) (3x2 - 7x - 10)[2x2 + (1 - Võ ) X + Võ - 3] = 0
3x2 - 7x - 10 = 0
2x2 + (1 - Võ)x + <'5-3 = 0
Giải 3x2 — 7x - 10 = 0
(a-b + c = 3- (-7) - 10 = 0)
Giải 2x2 + (1 - Võ )x + Võ - 3 = 0
(a + b + c = 2 + l-Võ +75-3 = 0)
_ 1. . _ V5-3
x3 = 1; x4 = ——
Phương trình đã cho có 4 nghiệm X = -1; X =	; X = 1; X = - ^2 3
X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
 x2(x + 3) — 2(x + 3) = 0
o (x + 3)(x2 - 2) = 0
X + 3 -- 0	X = —3
X2 - 2 = 0 X = ±V2
Phương trình đã cho có 3 nghiệm X = -3; X = ± V2 .
(x2 - l)(0,6x + 1) = 0,6x2 + X
« (x2 - l)(0,6x + 1) - 0,6x2 - X = 0
o (x2 - l)(0,6x + 1) - x(0,6x + 1) = 0
 (0,6x + l)(x2 - X - 1) = 0
0,6x + 1 = 0
X2 - X - 1 = 0
Giải 0,6x + 1 = 0
1	5
0,6	3
Giải X2 - X - 1 = 0
X1 =
4 = 5 => VÃ = Võ -Võ.„ _ 1-V5 —-—; X2 = ——-—
2	2
Phương trình đã cho có 3 nghiệm X = - ^; X = 1 ± 5
(X2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2
 (x2 + 2x - 5)2 — (x2 — X + 5)2 = 0
 (x2 + 2x - 5 + X2 - X + 5)(x2 + 2x-5-x2 + x-5) = 0
o (2x2 + x)(3x - 10) = 0 x(2x + l)(3x - 10) = 0
x = 0
2x4-1 = 0 o
10
3x-10 = 0
Phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0;x = --^;x = w.
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0 b) (x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x - 4 = 0
x-Ví=5Vĩ+7	d) - 10.^41 = 3.
X + 1	X
Hướng dẫn
a) Đặt t = X2 + X, ta có phương trình 3t2 - 2t — 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = X2 + X, ta được một phương trình của ẩn X. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của X.
Đặt x i = t hoặc —- = t.
X	x + 1
a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0
+ b + c = 3- 2- l = 0) =01
t=lx2 + x = lx2 + x- l = 0
A = 1 + 4 = 5 => VÃ = Võ
ti
Đặt t = X2 + X, ta có phương trình 3t2 - 2t - 1 = 0 (a
-1 + V5
"2	; x=
t = - ị X2 + X = - “ 3x2 + 3x + 1 = 0 3	3
A = 9 - 12 = -3 < 0. Phương trình này vô nghiệm
— 1 zt V5
Phương trình đã cho có nghiệm x = 	
(x2 - 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
 (x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x + 2 - 6 = 0
Đặt t = X2 - 4x + 2
Ta có phương trình t2 + t - 6 = 0
A - 1 + 24 = 25 => VÃ = 5
ti =	= 2;	t-2 =
2
-3
2
• t = 2x2-4x + 2 = 2x2-4x = 0
 x(x - 4) = 0 
t = -3 X2 - 4x + 2 = -3 X2 - 4x + 5 = 0; A’ = 4 - 5 = -1 < 0 Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm X = 0; X = 4.
X - Vx = 5 Vx + 7
 X - 6 Vx - 7 = 0
Đặt t = Vx > 0 (điều kiện X > 0) Ta có phương trình t2 — 6t - 7 = 0
(a - b + c = 1 - (-6) -7 = 0)
ti = -1 (loại); t2 - 7
t = 7 Vx - 7 X = 49 (thỏa điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm X = 49.
-Ậ- - 10. ^±1 = 3. Điều kiện |x " ° 1
X + 1	X	[X — 1
X	10
Đặt t = 	-. ta có phương trình t ——- = 3
x+1 H s	t
o t2-3t—.10 = 0
A = 9 + 40 = 49 => VÃ = 7
t = 5 o ——- = 5x = 5x + 5o4x + 5 = 0
x + 1
5
 X = -V (thỏa điều kiện)
4
t = —2 o —- = -2 X = —2x — 2 3x = — 2
x + 1
, ,	,
 x = - 5- (thỏa điều kiện)
3
5	2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -^;x = -^.