Giải bài tập Toán 9 Bài 6. Hệ thức Vi - ét và ứng dụng

§6. HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Ị ?11 -Hãy tìm X, + x2;Xj.x2.
Ta có: Xj =
—b + VÃ
2a
Suy ra: X; + x2 =
Hướng dẫn
X2
-b-VÃ
-b + VÃ
2a
2a
-2b
2a
-b + VÃ -b-VÃ	(-b)2 - (b2 - 4ac) c
2 2a 2a	4a2	a
Ị?2! Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0.
Hãy xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c. Chứng tỏ rằng Xj = 1 là một nghiệm của phương trình. Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
Hướng dẫn
Ta có: a - 2, b = -5, c = 3. Suy raa + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0;
Thay X1 = 1 vào phương trình, ta có: 2.12 - 5.1 + 3 = 0. Chứng tỏ Xj = 1 là một nghiệm của phương trình;
c	3	3
Theo định lí Vi-ét, ta có: XL.X2 = — hay l.x2 = 2 • Vậy x2 = -Ệ . í?3| Cho phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0 .
Hãy chỉ rõ hệ số a, b, c của phương trình và tính a - b + c. Chứng tỏ Xj = — 1 là một nghiệm của phương trình.
Tìm nghiệm x2.
Hướng dẫn
Ta có: a = 3, b = 7, c = 4. Suy raa + b + c = 3- 7 + 4 = 0;
Thay XT = -1 vào phương trình, ta có: 3.(-l)2 + 7(—1) + 4 = 0 . Chứng tỏ Xj = -llà một nghiệm của phương trình;
-4-llz-ry	c	4	4
Theo định lí Vi-ét, ta có: Xj.Xg = — hay (-l).x2 = Vậy x2 = a	3	3
!?4| Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
—5x2 + 3x + 2 = 0;	b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0.
Hướng dẫn
Vì (—5) + 3 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
X1 = 1; x2 =
Vì 2004 - 2005 + 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: X, = — 1;x9 = — _ J_ ■
chúng bằng 5.
-	2004
cúa
I?51 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích
= 5 . Do đó u và V phương trình vô
Hướng dẫn
u.v
Vì
Gọi hai số’ cần tìm là u và V, ta có: u + V = 1;
là nghiệm của phương trình X2 — X + 5 = 0. nghiệm nên không tồn tại hai sô’ thỏa mãn ycbt.
B. GIẢI BÀI TẬP
Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu X1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):
2x2 - 17x + 1 - 0, A = ...; X1 + x2 = ..., X1.X2 = ...
5x2 - X - 35 = 0, A - ...; X1 + x2 =	X1.X2 = ...
8x2 - x + l = o, A = ...; Xj + x2 = ..., Xjx2 = ...
25x2 + lOx + 1 = 0, A = ..., X1 + x2 = ...; Xj.x2 = ...
__	17	1
2x2 - 17x + 1 = 0, A = 281; X1 + x2 =	, X1.X2 = -Ệ-
2	2
5x2 - X - 35 = 0, A = 701; X1 + x2 =	X1-X2 = -7
5
8x2 - X + 1 = 0, A = -31; X1 + x2 = X1X2 = ...
(do phương trình vô nghiệm nên không tính được X1 + x2; X1-X2)
2	1
25x2 + lOx + 1 = 0, A = 0, Xi + x2 =	X1.X2 = -Ệ-
25
Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c - 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0	b) 7x2 + 500x - 507 = 0
X2 - 49x - 50 = 0	d) 4321X2 + 21x - 4300 = 0
35x2 - 37x + 2 = 0
a + b + c = 35 - 37 + 2 = 0
2 Phương trình có hai nghiệm X1 = 1, x2 = ~
7x2 + 500x - 507 = 0
a + b + c = 7 + 500 - 507 = 0
507
Phương trình có hai nghiệm X1 = 1, x2 =	ặ—
X2 - 49x - 50 = 0
a - b + c = 1.- (-49) - 50 = 0
Phương trình có hai nghiệm X1 = -1, x2 = 50
4321X2 + 21x - 4300 = 0
a - b + c = 4321 - 21 - 4300 = 0
Phương trình có hai nghiệm Xi = -1, x2 = 4300
4321
Dùng hệ thức Viét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) X2 - 7x + 12 = 0	b) X2 + 7x + 12 = 0
a) X2 - 7x + 12 = 0
Ta thấy có hai số X1 = 4; x2 = 3 thỏa điều kiện
Xj + x2 = 4 + 3 = 7 = —= — —
1 a
_ A o _ -1 o _ 12 c
X] ,x2 = 4.3 = 12 = “ = —
1 a
Vậy phương trình có hai nghiệm X1 = 4, x2 = 3 b) X2 + 7x + 12 = 0
Ta thấy có hai số X1 = -4, x2 = -3 thỏa điều kiện
Xj + x2 = —4 + (—3) = —7 =	
a
X1.X2 =(-4)(-3) = 12 = -
a
Vậy phương trình có hai nghiệm X1 = -4, x2 = -3
Tìm hai số u và V trong mỗi trường hợp sau:
a) u + V = 32, uv = 231	b) u + V = -8, uv = -105
u + V = 2, uv = 9.
a)
u + V = 32
u.v = 231
u, V là nghiệm phương trình X2 - 32X + 231 = 0
Ạ' = (-16)2 - 1(231) = 25
VÃ7 = 5
X1 = 1++ = 21; x2 = 16-5 = n
Vậy
u = 21
V = 11
hay
u = 11
V = 21
b)
u + V = —8
u.v = -105
u, V là nghiệm phương trình X2 + 8X - 105 = 0
A' = 16 + 105 = 121
VÃ
 X1-X2	9
c ) 5x2 + X + 2 = 0
 A = 1 - 4(5)(2) = 1 - 40 = -39 < 0
 Phương trình vô nghiệm nên không tính được giá trị X1 + x2 và X1.X2
 = 11
X, = ZͱH = 7; Xj = zlzll = _15
1 1
Vậy
“:7,= hay
V = —15
u = —15
V = 7
u *+ V = 2
c)
u.v - 9
u, V là nghiệm phương trình X2 - 2X + 9 = 0
A' = l- 9 = -8<0 phương trình vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của u, V thỏa điều kiện đã cho.
c. LUYỆN TẬP
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4x2 + 2x - 5 = 0	b) 9x2 - 12x + 4 = 0
5x2 + X + 2 = 0	d) 159x2 - 2x - 1 = 0
4x2 + 2x - 5 = 0
Ta có a.c = 4(-5) = -20 < 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt X1, x2
9x2 - 12x + 4 = 0
Ta có A' = (—6)2 - 9.4 = 0
Phương trình đã cho có nghiệm kép X1 = x2
159x2 - 2x - 1 = 0
Ta CÓ a.c = 159(-1) = -159 < 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xb x2
—2	2
X, + X, =	= —-
1	159	159
-1
X1 *X2 —	-.7
1 2	159
Tìm giá trị của m đế phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
X2 - 2x + m - 0	b) X2 + 2(m - l)x + m2 = 0
X2 - 2x + m = 0
A' = (-1)2 - (l).m = 1 - m
Phương trình có hai nghiệm X1, x2 khi A' > 0 l-m>o«m<l
_2
X, + x9 = —— = 2
. 1
m
X, .x9 = —- = m
1 2 1
X2 + 2(m - l)x + m2 = 0
A' = (m - l)2 - l(m2) = m2 - 2m + 1 - m2 = -2m + 1 Phương trình có hai nghiệm X1, x2 khi A' > 0 o -2m + l>0m<4
2
X, + x2 =	— 2(1 ■ m)
X, ,x2 =	= m2
J 1
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
l,5x2 - ĩ,6x + 0,1 = 0
Vãx2- (1 - 73)x - 1 = 0
(2 - V3 )x2 + 2 V3 X - (2 + VÕ ) = 0
(m - l)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m 1.
a) l,5x2 - l,6x + 0,1 = 0
Ta có a + b + c = 1,5 + (-1,6) + 0,1 = 0 Phương trình có hai nghiệm:
73x2-(l- 73 )x - 1 = 0
Tacoa-b + c=73 + 1- 73-1 = 0
Phương trình có hai nghiệm
x' = -1;x2=i 3
(2 - 73 )x2 + 2 73 X - (2 + 701 = 0
Ta cóa + b + c = 2— 73 + 273 - 2 — 73 = 0
Phương trình có hai nghiệm
_ ,.	_ -(2 + 73)	. /0 X
X1 = lx2 = —_— I-— = -(7 + 4V3 )
2-73
(m - l)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0(m^l)
a + b + c = m- l- 2m - 3 + m + 4 = 0
Phương trình có hai nghiệm
, , m + 4 X] = 1; x2 =
m — 1
Tìm hai số u và V trong mỗi trường hợp sau:
a) u + V = 42; uv = 441	b) u + V = -42; uv =. -400
u - V = 5; uv = 24
u + V = 42
u.v = 441
42X + 441 = 0
u, V là nghiệm phương trình X2 -
A’ = (-21)2 - 441 = 0
b)
X, = X, =	= 21. Vậy
21
21
u + V = -42
u.v = -400
u, V là nghiệm phương trình X2 +
A’ = 212 + 400 = 841
42X - 400 = 0
Vậy
-21 + 29 = 8>X2=z2Ịz29=_50
1
“8 .hay
v = —50'
1
u = —50
v = 8
c)
u + (—v) = 5 u(-v) = -24
u — V = 5
uv = 24
u và -V là nghiệm phương trình X2 - 5X - 24 = 0
A = 25 + 24 = 49
VÃ = 7
5 + 7
= 12, x2 =
5-7
1
= -2
Từ đó
Vậy
u = 12
-V - -2
u = 12
v = 2
hay
hay
u = -2
-v = 12
u = -2
V = —12
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm X] và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau: ax2 + bx + c = a(x - Xi)(x - x2).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 - 5x + 3	b) 3x2 + 8x + 2.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm lă X1, x2 thì ta có b	c
X! + x2 = - — ; X1.X2 = —
„2 , b , c
2 -b . c
X +—X + —
= a
X2	- X + —
a a
a	a
= a[x2 - (X1 + x2)x + XiX2]
= a[x(x - X1) - x2(x - X1)] = a(x - Xi)(x - x2).
a	a
ax2 + bx + c = a
Áp dụng
Phương trình 2x2 -5x + 3 = 0cóa + b + c = 2- 5 + 3 = 0 nên có
3
hai nghiệm X1 = 1, x2 =
2
do đó 2x2 - 5x + 3 = 2(x - l)(x - ^) = (x - l)(2x - 3)
Phương trình 3x2 4- 8x + 2 = 0 có A’ = 42 - 3.2 = 16 - 6 = 10
_ -4 +Vĩõ . -4-ỰĨÕ
có hai nghiệm là X1 = 	T	; x2 = —-—-—
3
X	-
3
do đó 3x2 + 8x + 2 = 3 X —