Giải bài tập Toán 9 Ôn tập chương III

b)	c)	d)	e)
Hình 66
Hình 66 a): góc ở tâm.
Hình 66 b): góc nội tiệp.
Hình 66 c): góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Hình 66 d): góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Hình 66 e): góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60°. Hãy:
Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.
Vẽ góc nội tiếp đỉnh c chắn cung AmB. Tính góc ACB.
Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.
Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn.
So sánh ADB với ACB .
Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và c cùng phía đốì với A.B). So sánh AEB với ACB.
E
Tính AOB.
sđAOB = sđAmB = 60°.
(tính chất góc ở tâm)
Tính ACB.
sđẤCB = -đA;mB = ^ = 30u.
2	2
(tính chất góc nội tiếp)
. c) Tính ABt
sđAmB .,z
sd Atít = —	(tính chat góc tạo bới tia tiêp tuyẽn và dây cung)
2
= ^=30».
2
So sánh ADB và ACB.
AD cắt đường tròn (O) tại p.
Ta có APB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà ADB > APB (ADB là góc ngoài tam giác DBP) Vặy ADB > ACB.
So sánh AEB và ACB .
AE cắt đường tròn (O) tại Q
Ta có AQB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà AQB > AEB (AQB là góc ngoài tam giác EQB) Vậy ACB > ẤẼB .
a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
Vẽ hình vuông ABCD cạnh 4 cm.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông
- Gọi o là giao điểm hai đường chéo hình vuông.
Ta có OA = OB = oc = OD
- Vẽ đường tròn (O; OA), đường tròn này qua các đỉnh A, B, c, D của hình vuông nên là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
* Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp Ta có BD2 = BA2 + AD2
(AABD vuông tại A) = 42 + 42 = 2.42
BD = 4 V2 (cm) Suy ra R = 2 72 (em).
Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông.
- Kẻ OM, ON, OP, OQ lần lượt vuông góc với AB, BC, CD, DA
Ta có AB = BC = CD = AD
Nên OM = ON = OP = OQ (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Do đó AB, BC, CD, DA tiếp xúc với đường tròn (O; OM).
- Đường tròn (O; OM) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
* Tính bán kính đường tròn nội tiếp
AAOB vuông cân tại o (do AC ± BC và OA = OB) Có OM là đường cao cũng là đường trung tuyến TT,	AB
Vậy r = OM = -—7- - 2 cm.
2	
Trong hình 68, đường tròn tâm o có bán kính R - 2 cm. AOB = 75°. a) Tính sđ ApB .
Tính độ dài hai cung AqB và ApB.
Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.
Tính sđ ApB.
Ta có sđAqB = sđAOB =75° (tính chất góc ở tâm) sđẤpB = 360° - sđẪqB = 360°- 75° = 285°.
Tính độ dài các cung AqB và ApB.
Độ dài cung AqB:
z _ 7t(2).(75°) 5n
180°	~ 6
*
Độ dài cung ApB
(cm)
7	_ O— o 5n _ 1971 7	X
/2 = 211.2 - —■ = (cm)
6	6
c) Diện tích hình quạt tròn OAqB.
7t.22.75°
360°
_ 5n	2'
=	(cm2).
Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
Diện tích cần tìm:
s = k(R2 - r2) = 7t(l,52 - l2) = 1,2571 (cm2).
Hỉnh 69
_ 7i(l,5)2.80°	71.12.8O°
360°	360°
71.80°
360ó
2,57t
9
5n	2'
= 18 (cm ’•
Hình 70
Diện tích cần tìm
(1,52-!2)
Diện tích hình quạt AEF
_ 7l1,52 90°
1 -	360°
2,2Õ7T 71 . _ 2. =	= 77 (cm )
4	16
Diện tích hình vuông ABCD
s2 = 32 = 9
Diện tích cần tìm
Hình 71
s = s2 - 4S1
= 9- V
4
4 71
= 9 -
16
36 — 71 Z 2\ —-— (cma).
4
Có ba bánh xe răng cưa A, B, c cùng chuyển động ăn khớp với nhau.
Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe c có 20 răng. Biết bán kính bánh xe c là 1 cm. Hỏi:
Khi bánh xe c quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
Tính số vòng quay của bánh xe B.
Sô" vòng quay của bánh xe B khi bánh 60.20
=30 vòng.
40
Số vòng quay của bánh xe B khi bánh
80-60 _ 7 00 ,4 „
j" = 120 vòng.
40
xe
xe
c quay 60
A quay 80
vòng
vòng
là
Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Tính bán kính các bánh xe A và B.
Khi bánh xe c quay được 1 vòng thì bánh
xe
B quay được
20
40
vòng và bánh xe A quay được —
Bán kính của bánh xe B: R1 = 1 :
Bán kính của bánh xe A: R2 = 1 :
1
= — vòng.
3
4=2 (cm).
2
4=3 (cm).
3
Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
Có phải — số học sinh là học sinh ngoại trú không?
2
Có phải ỉ số học sinh là học sinh bán trú không?
3
Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.
Gọi R là bán kính các hình quạt.
Diện tích hình quạt biểu diễn số học sinh ngoại trú: s, =" = (đvdt)
360°	4
s2 =
Diện tích hình quạt biểu diễn số học sinh bán trú: tvR26O0	-kR2
~ ~	= —T— (đvdt).
360°	6
Diện tích hình quạt biểu diễn số học sinh nội trú:
s3	= (dvđt)
360°	12
tvR2
Diện tích hình tròn: s =	—.
2
a) Đúng vì số học sinh ngoại trú -R2
2
o
Hình 72
Ngoại tru
Bán trú
chiếm tỉ lệ:
2 _ 1
4 " 2
b) Đúng vì học sinh bán trú chiếm tỉ lệ:
_ 1
" 3
, S1 tvR2 ki — —— — —-— s 4
, s2 ivR2
k2 = —7- = ——
s 6
7ĩR2 _ 2
2 " 6
Số học sinh nội trú chiếm tỉ lệ: ttR2 _ 2
2 _ 12
. S3 TĩR k3 = -?- =
s . 12
- « 16,66%.
6
Sô' học sinh ngoại trú là: 18^)0 = 900 học sinh
Sô" học sinh bán trú là:
—-ỹQ = 600 học sinh
3
Sô' học sinh nội trú là:
1800 = 300 học sinh.
6
c) CD = CH.
Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc c khác 90°) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD - CE b) ABHD cân
a) Chứng minh CD = CE
Gọi các đường cao của tam giác kẻ từ A, B là AA’, BB’
_ sđ CD + sđAB
Ta có sđ CA D = 	-7	
2
(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
, £^77,	sđ CE + sđ AB
sđEB c = —-—“■	
2
(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
Mà CAT) = EE/C = 90°
Suy ra sđ CD + sđ AB = sđ CE + sđ AB
Vậy CD = CE do đó CD = CE.
Chứng minh ABHD cân tại B
EBC = DBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau CE = CD )
Suy ra BA’ là phân giác DBH
Mà BA’ là đường cao của ABDH.
Vậy ABHD cân tại B.
Chứng minh CD = CH.
ABHD cân tại B có BA’ là đường cạo cũng là trung trực của HD.
Vậy CD = CH (C thuộc trung trực của HD).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
OM đi qua trung điểm của dây BC.
AM là tia phân giác của góc OAH.
a) OM qua trung điềm dây BC.
Ta có BAM = CAM (AM là phân giác BAC)
Suy ra BM = CM (Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau).
Do đó OM qua trung diêm của dây BC. (Định lý đường kính qua điểm chính giữa một cung).
b) AM là tia phân giác OAH
Ta có OA - OM (bán kính đường tròn)
Nên AOAM cân tại o.
Suy ra OAM = ÒMA (1)
Mặt khác OM 1 BC (OM qua trung điếm dây BC) AH 1 BC (gt)
Nên OM//AH
Do đó HAM = ỒMA (2).
(1), (2) cho ta ÕÃM = HÃM
Vậy AM là tia phân giác HAM.
Chõ tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại s. Chứng minh rằng:
ABCD là một tứ giác nội tiếp .
ABD = ACD
CA là tia phân giác của góc SCB.
Giòi
a) Tứ giác ABCD nội tiếp
Ta có MDC = 90° (góc nội tiếp
chắn ỉ đường tròn)
BAC = 90° (AABC vuông tại A)
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC (Hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng 90°).
ABD = ACD
Ta có ÀBD = ACD (tứ giác ABCD nội tiếp).
CA là tia phân giác SCB.
Ta có ACB = ADB (tứ giác ABCD nội tiếp)
ÀDB = SCA (tứ giác MSDC nội tiếp)
Vậy SCA = ACB
Hay CA là phân giác SCB.
Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Phần thuận:
Gọi I là trung điếm của AB
Ta có IO ± AB (định lý đường kính qua trung điếm một dây)
Suy ra OIA = 90°
Mà OA cố định.
Vậy I di động trên đường tròn đường kính OA.
Phần đảo:
Lấy r bất kì trên đường tròn đường kính AO
AI’ cắt đường tròn o tại B’
Nếu r s A hoặc IV o thì hiến nhiên r là trung điểm AB’.
Nếu 1’ A và I’ Ạ 0 thì ta có:
OIA = 90° (góc nội tiếp chắn — đường tròn)
2
Suy ra OJ’ 1 AB’
Do đó I’ là trung điểm AB’.
Vậy quỹ tích I trung điếm AB là đường tròn đường kính AB.
Dựng AABC, biết BC = 6 cm, BAC = 80°, đường cao AH có độ dài là 2 cm.
Cách dựng
Dựng BC = 6 cm
Dựng cung chứa góc 80° vẽ trên BC
Dựng đường thẳng d // BC và cách BC một khoảng 2 cm, đường thẳng này cắt cung chứa góc tại A.
Nối AB, AC.	_d
Chứng minh
Tam giác ABC có:
BC = 6 cm	_
BAC = 80° (A thuộc cung chứa góc 80° vẽ trên BC)
Kẻ AH 1 BC, ta có AH = 2 cm (A thuộc đường thẳng song song BC và cách BC một khoảng 2 cm).